Lineární operátorová matice
Nekhai je řádkový operátor a mezery jsou koncové i .
Stanovme si docela základ: 
v i 
PROTI.
Stanovme si úkol: pro dostatečný vektor vypočítejte souřadnice vektoru 
na základně.
Zavedením vektorové matice-řádku, který se skládá z obrázků vektorů v základu, můžeme odstranit:
Uctivě, žárlivost na tomto místě zůstane díky linearitě operátora.
Rozložme systém vektorů podle základu:
,
Část matice je součástí souřadnic vektoru v základu.
Zbývající matematické:
Otje, Pro výpočet množiny vektorových souřadnic pro vybranou bázi jiného prostoru stačí vynásobit množinu vektorových souřadnic pro vybranou bázi prvního prostoru maticí, která je vytvořena ze množiny souřadnic obrázků základní vektory prvního prostoru na bázi jiného prostoru.
Matice se nazývá matice lineárního operátoru v dané dvojici bází.
Matici lineárního operátoru lze označit stejným písmenem jako samotný operátor, alias bez kurzívy. Někdy budeme používat následující význam: 
, nejčastěji vynecháním základu (protože to zhorší přesnost).
Pro lineární transformaci (pokud 
) můžeme mluvit o józe matrice v tomto základu.
Jako na tupo se podívejme na matici operátoru návrhu tupu v sekci 1.7 (s ohledem na transformaci prostoru geometrických vektorů). Yak základ viberemo zvichayny základ.
Také matice operátoru pro promítání do roviny v základně vypadá takto:
Je důležité, že jsme považovali projekční operátor za odraz , vezmeme-li v úvahu zbývající prostor všech geometrických vektorů, které leží v blízkosti roviny, pak, vezmeme-li základ jako základ, nyní můžeme získat následující matici:
Vezmeme-li v úvahu dostatečně velkou matici jako lineární operátor, který mapuje aritmetický prostor na aritmetický prostor, a z každého z těchto prostorů vybereme kanonickou bázi, můžeme odvodit, že matice tohoto lineárního operátoru v takové dvojici bází je samotnou maticí že tento operátor znamená - pak jsou v tomto případě matice a lineární operátor stejné (úplně stejně jako při výběru kanonické báze v aritmetickém vektorovém prostoru lze identifikovat vektor a množinu souřadnic v této bázi). Ale by byla hrubě odhozena vektor yak takhleі linkový operátor yak takový z těchto údajů do jednoho či druhého základu (vypadají jako matice). Vektorový i lineární operátor jsou geometrické, neměnné objekty, myšlenky bez ohledu na jakýkoli základ. Pokud tedy například existuje minimální geometrický vektor pro narovnání sekcí, hodnoty jsou zcela invariantní. My, pokud něco kreslíme, máme hodně úsilí dostat se k základnám, souřadnicovým systémům a tak dále a můžeme s nimi operovat čistě geometricky. Insha bohatý, co pro šikovnost Abychom si usnadnili počítání s vektory, použijeme první algebraický aparát, který představí souřadnicové systémy, báze a s tím spojenou algebraickou techniku počítání s vektory. p align="justify"> Obrazně řečeno, vektor, jako „nahý“ geometrický objekt, se „obléká“ do různých souřadnicových projevů v závislosti na volbě základu. Lidé si sice dokážou obléct velmi manipulativní hadřík, což znamená, že podstata toho, jak se lidé nemění, ale také platí, že do této ani jiné situace žádná látka nepřijde (na plážový koncert nepůjdete frak), ta y golim tezh ne přes to projdeš. Takže i když jakýkoli podklad není vhodný pro konečný návrh, i čistě geometrické řešení se může ukázat jako příliš složité. V našem kurzu je to pro nás důležité, protože pro takovou úlohu by se zdálo, že čistě geometrický problém, jako klasifikaci ploch různého řádu, bude doplněn složitou a krásnou teorií algebry.
Pochopení důležitosti geometrického objektu z jeho toho či onoho základu se stává základem pro aplikaci lineární algebry. Za geometrický objekt nemůže samotný geometrický vektor. Takže, když vložíme aritmetický vektor 
, pak jej lze ztotožnit se základem jeho souřadnic v kanonickém základu 
, Bo (div. první semestr):
Poté zavedeme další bázi y, která se skládá z vektorů І (otočte to, to je efektivní základ!) І, vikoristická matice přechodu, přeuspořádáme souřadnice našeho vektoru:
Použili jsme úplně jinou metodu, ale ta představuje stejný aritmetický vektor na jiném základě.
To, co bylo řečeno o vektorech, lze rozšířit na lineární operátory. Ty, jejichž vektor je jeho souřadnicovým projevem, jeho lineárním operátorem je jeho matice.
Ozhe (opakujte znovu), je nutné jasně rozlišovat mezi silovými silami invariantních geometrických objektů, jako je vektor a lineární operátor, a Jejich projevy na té či oné bázi (Pojďme, jasně, pojďme mluvit o koncových lineárních prostorech).
Pojďme se zabývat samotnými úlohami transformace matice lineárního operátoru při přechodu z jedné dvojice bází na druhou.
Pojďme 
-
nový pár základen pro daný druh.
Todi (označující matici operátoru ve dvojici „šrafovaných“ základen) lze odstranit:
Ale z druhé strany,
,
znaky, přes jednotu rozkladu vektoru za bází
,
Pro lineární transformaci vypadá vzorec jednodušší:
Matice spojené s takovými vztahy se nazývají podobný.
Je snadné vidět, že determinanty takových matic se vyhýbají.
Pojďme si to nyní představit, je to jasné hodnost linkového operátora.
Za daným číslem je odpovídající rozměr obrázku tohoto operátoru:
Dovolte nám toto důležitější prohlášení:
Tverzhennia 1. 10 Hodnost lineárního operátoru odpovídá hodnosti jeho matice, bez ohledu na volbu bází.
Hotovo. Za prvé, uctivě, obraz lineárního operátora je lineární skořápka systému, základ prostoru.
Skutečný,
Bez ohledu na číslo i znamená, že je označeno lineárním pláštěm.
Rozměr lineárního pláště, jak je zřejmé (část 1.2), odpovídá hodnosti přenosového systému vektorů.
Již dříve bylo uvedeno (část 1.3), že systém vektorů je uspořádán podle určitého základu jako
pak, v myslích systému, matice jsou lineárně nezávislé. Lze učinit silnější tvrzení (tento důkaz vynecháme): Hodnost systému se rovná hodnosti matice Tento výsledek navíc nespočívá ve volbě báze, protože vynásobením matice negenerovanou přechodovou maticí se její pořadí nezmění.
Oskolki
,
Je zřejmé, že řady podobných matic se ukládají a výsledek závisí na volbě konkrétního základu.
Pravda byla dovršena.
Pro lineární rekreace jakýkoli koncový lineární prostor, který můžeme poslat a pochopit určující toto rekreace Matice lineární transformace v různých základech je jako determinant své matice na poměrně pevné bázi podobná, a proto může mít nové determinanty.
Vikoristovo chápání matice lineárního operátoru přivádíme k dalšímu důležitému vztahu: pro jakoukoli lineární transformaci - klidný lineární prostor
Vybíráme docela základ pro prostor. Pak se jádro skládá z těchto a více vektorů, sady souřadnic, které jsou podstatou řešení homogenního systému
a samotný vektor a teprve potom, pokud je vyřešen celý systém (1).
Jinak se zdá, že v celém systému existuje izomorfismus jádra (1). No, rozměry těchto prostor se zmenšují. Kromě velikosti prostoru je řešení soustavy (1) prastaré, jak víme, hodnost matice. Ale mi shoyno přinesl, scho
Brothers ket-vectors of Dirac jsou úžasné, protože s jejich pomocí můžete nahrávat různé typy výtvorů.
Přidání bra-vektoru ke ket-vektoru se nazývá skalární výtvor nebo vnitřní výtvor. V podstatě se jedná o standardní maticový model založený na pravidle „řádek nahoře“. Výsledkem je komplexní číslo.
Nový ket-vektor nedává číslo, ale jiný ket-vektor. Je také reprezentován vektorovým kmenem a kromě mnoha komponent jsou přidány rozměry výstupních vektorů. Takové těleso se nazývá tvorba tenzoru nebo Kroneckerova tvorba.
Podobně pro vytvoření dvou nástěnných vektorů. Odeberme velký vektorový řádek.
Zbývající možností je vynásobení ket-vektoru bra-vektorem. Poté je třeba vynásobit řádek po řádku. Takový výtvor se také nazývá tenzor nebo vnější výtvor. Výsledkem je matice neboli operátor.
Podívejme se na příklad historie takových operátorů.
Vezměme si nějaký dostatečný hermitský operátor A. Na základě svých postulátů navrhuje každou veličinu, před kterou je třeba se chránit. Základ tvoří vektory operátoru Hermite. Největší vektor lze rozdělit na danou bázi. Odhalit součet bázových vektorů s komplexními komplexními koeficienty. Tato skutečnost je známá jako princip superpozice. Přepišme viraz pomocí znaku sumi.
Pokud jsou v rozkladu vektoru jako báze koeficienty, pak se skalární sčítání vektoru stane podobným bázovým vektorem. Zapišme tuto amplitudu pravé ruky jako vektor. Viraz pod znaménkem součtu lze použít k vynásobení ket-vektoru komplexním číslem - amplitudou intenzity. Na druhou stranu to může být viděno jako přidání matice, odvozené z násobení ket-vektoru bra-vektorem a výstupního ket-vektoru. Ket-vektor lze přivést zpoza znaku součtu na luk. Pravák a levák, znak věrnosti se jeví jako stejný vektor psi. To znamená, že celý součet nefunguje s ničím z vektoru a samozřejmě s jedinou maticí.
Tento vzorec je tak užitečný při manipulaci s viry při vytváření bra- a ket-vektorů. Dokonce i jeden může být vložen na jakékoli místo, které vytvoříte.
Člověk by se divil, co jsou to matice, které jsou zahrnuty v součtu a mají vytvoření tenzoru základního ket-vektoru s jejich hermitovskými výsledky. Znovu, kvůli přesnosti, nakreslete analogii s prvočíselnými vektory v triviálním prostoru.
Vybíráme jednotlivé základní vektory ex ey a ez, které probíhají přímo podél souřadnicových os. Tenzorické přidání vektoru ex k jeho páru bude reprezentováno přibližovací maticí. Vezměme si poměrně velký vektor v. Co se stane, když se matice vynásobí vektorem? Tato matice snadno resetuje všechny složky vektorového crim x na nulu. Výsledkem je vektor, který je narovnán podél osy x, takže projekce výstupního vektoru je základním vektorem ex. Ukazuje se, že naše matice není nic jiného než projekční operátor.
Dva projekční operátory, které chybí na základních vektorech ey a ez, se jeví jako podobné matice a konjugují podobnou funkci – vynulují všechny složky vektoru kromě jedné.
Jaký je výsledek předpokladu operátorů projekce? Například operátory Px a Py jsou skládací. Taková matice eliminuje z-složku vektoru. Vektor dílčího vaku leží vždy v rovině x-y. Pak můžeme použít operátor promítání na plochu x-y.
Nyní je jasné, proč se součet všech promítacích operátorů na základní vektory rovná matici identity. V naší aplikaci odstraníme projekci triviálního vektoru do triviálního prostoru. Samotná matrice je v podstatě sama o sobě vektorovým projektorem.
Výstup operátoru projekce je ekvivalentní výstupu výstupního prostoru. Tento typ trojrozměrného euklidovského prostoru může mít jednorozměrnou čáru, která je specifikována jedním vektorem, nebo dvourozměrnou oblast, která je specifikována dvojicí vektorů.
Vrátíme-li se ke kvantové mechanice s těmito vektory v Hilbertově prostoru, můžeme říci, že projekční operátoři definují podprostor a promítají vektor do tohoto Hilbertova podprostoru.
Podívejme se na základní sílu operátorů projekce.
- Po sobě jdoucí použití stejného promítacího operátora je ekvivalentní jednomu promítacímu operátoru. Zapište prosím tuto mocninu jako P 2 =P. Ve skutečnosti, protože první operátor navrhl vektor v podprostoru, druhý s ním nemůže nic vytvořit. Vektor se v tomto prostoru již používá.
- Operátoři projekce jsou hermitovské operátory, protože v kvantové mechanice představují veličiny, které jsou chráněny proti.
- Důležité hodnoty operátorů projekce jakékoli dimenze jsou menší než jednička a nula. Vektor může být umístěn v podprostoru nebo ne. Prostřednictvím takové binarity, kterou popisuje operátor projekce, lze hlídané množství formulovat z hlediska výživy, jako „tak“ nebo „ne“. Proč například narovnávat spin prvního elektronu v singletové poloze podél osy z? Tento napájecí zdroj lze přiřadit k typu operátora projekce. Kvantová mechanika umožňuje možnost obou typů „tak“ a „ne“.
Mluvíme také o promítacích operátorech.
1. Operátory designu a idepotence prstenu
Nechť vektorový prostor V je přímý součet podprostorů W a L: . Podle významu přímého součtu je vektor vV jednoznačně reprezentovatelný jako v=w+l, wW. ll.
Hodnota 1 Protože v=w+l, pak se obraz, který vytváří kožní vektor vV a jeho složku (projekci) wW, nazývá projektor z prostoru V do prostoru W. Říká se mu také projekční operátor nebo projekční operátor.
Je zřejmé, že pokud wW, pak (w)=w. Hvězda křičí, že může přijít zázračná síla 2 = R.
Hodnota 2 Prvek e kruhu K se nazývá idempotentní (tj. podobný jedničce), protože e 2 = e.
Kruh celých čísel má pouze dvě idempotencie: 1 a 0. Druhá matice je v prstenci vpravo. Například matice jsou idepotentiární. Matice operátorů návrhu jsou také nezávislé. Následující operátory se nazývají idempotentní operátory.
Podívejme se nyní na přímý součet n pod rozlohou prostoru V:
Potom, podobně jako u přímého součtu dvou podprostorů, můžeme extrahovat n návrhových operátorů, …, . Pachy moci ==0 v ij.
Hodnota 3 Idempotentity e i a e j (ij) se nazývají ortogonální, protože e i e j = e j e i =0. Také jsem ortogonální idepotentiáři.
Z toho, že IV=V, a pravidel pro sčítání lineárních operátorů to vyplývá
Toto rozložení se nazývá rozložení jednoho v součtu idempotentů.
Hodnota 4 Idempotent e se nazývá minimální, protože nemůže být dán součtem idempotentů zahrnutých pod 0.
2. Kanonicky uspořádané projevy
Viceance 5. Kanonická expanze jevu T(g) se nazývá jeho expanze tvaru T(g)=n 1 T 1 (g)+ n 2 T 2 (g)+…+ n t T t (g), ve kterém ekvivalentní neredukování provedení T i (g) ) jsou kombinovány najednou a n i je násobek vstupu neredukované nabídky T i (g) rozložení T(g).
Věta 1. Kanonické rozšíření dat je indikováno dodatečným promítacím operátorem ve formuláři
I=1, 2, …, t, (31)
de | G | - pořadí skupiny G; m i - stadium projevu T i (g), kde i=1, 2, …, t; i (g), i = 1, 2, …, t - charakteristiky neredukovatelných jevů T i (g). Když m i je určeno vzorcem
3. Projekční operátory spojené s maticemi nevodicích projevů skupin
Pomocí vzorců (31) je možné eliminovat jevy, které nejsou kanonicky rozvrženy. Zagalom je nutné rychle spočítat matice neredukovatelných projevů, které umožňují realizaci sekundárního návrhu operátorů.
Věta 2. Nech - maticové prvky neredukovaného jevu T r (g) grupy G. Operátor tvaru
Operátor návrhu se nazývá Wignerův operátor. Ve viru (33) m r - velikost jevu T r (g).
4. Vybalení poplatků z přímého součtu neadresného oznámení za asistence provozovatele Wigner
Významně přes modul M jsou propojení se submoduly T. Nechť neredukovatelné jevy T 1, T 2, ..., T t z kanonického uspořádání projevů vycházejí z metody popsané dříve (část 4), jak ukazují neredukovatelné submoduly M 1, M 2 , …, M t. Rozkládací modul M pohled
se nazývá kanonická expanze modulu M. Významně niMi = Li tak, že
Významné jsou neuvedené submoduly modulů L i
; i=1, 2, …, t. (36)
Tyto moduly musíme znát.
Je přijatelné, aby pravda byla pravdivá. Také pro každý modmodul Mi (s) (s = 1, 2, ..., ni) byla nalezena ortonormální báze, která je operátorem reprezentací maticí T i (g) nakreslených neredukovaných dat T. ve výsledku (podle pravidla v § 3) operátor na základ pro vzorec
J=1, 2, …, mi. (37)
Je důležité poznamenat, že mi je rozměr ireducibilního jevu T i (i=1, 2, …, t) a prvky báze s číslem g jsou z ireducibilního submodulu M i. Nyní je možné umístit prvky základny L i s i pevným v následujícím pořadí:
Pravostranně u Virazi (38) rozšířená základna modulů Mi (1) , Mi (2) , …, . Jakmile se i změní z 1 na t, odstraníme základnu celého modulu M, který se skládá z m 1 n 1 + m 2 n 2 + ... + m t n t prvků.
Pojďme se nyní podívat na operátora
Co dělá modul M (j opraveno). Rozšíření na větu 2 je operátorem projekce. Proto tento operátor beze změny odstraní všechny základní prvky (s=1, 2, …, ni), expanduje v j-tém sloupci výrazu (38) a převede všechny ostatní vektory báze na nulu. Je významný prostřednictvím M ij vektorový prostor překlenutý ortogonálním systémem vektorů, který stojí v j-tém sloupci řádku (38). Lze také říci, že operátor projektuje pro prostor M ij. Operátor vidomie, fragmenty vidomických diagonálních prvků a matice nesměrů skupinových projevů, stejně jako operátor T(g).
Nyní můžeme dokončit náš úkol.
Vybereme n i dalších bázových vektorů M: a zvýšíme je návrhovým operátorem. Vektory jsou odstraněny a leží v prostoru M ij a є lineárně nezávislé. Pachy nejsou obov'yazkovo ortogonální a normalizované. Systém vektorů byl ortonormálně obnoven v souladu s pravidlem § 2. Systém vektorů byl obnoven o významnost e ij (s) konzistentní s hodnotami převzatými z předpokladu, že daná hodnota je ověřena. Jak bylo určeno, zde j je pevné a s = 1, 2, ..., n i . Významně e if (s) (f=1, 2, …, j-1, j+1, …, mi), ostatní prvky modulové základny M i o rozměrech n i mi . Významně prostřednictvím útočného operátora:
Tento vztah ortogonality pro nevodící matici ukazuje, že tento operátor umožňuje odstranit např. ze vzorce
I = 1, 2, …, t. (41)
Vše výše uvedené lze interpretovat podle algoritmu.
Abychom poznali základ modulu M prvků, které jsou transformovány za neredukovatelné projevy T i, které se nacházejí v projevu T spojeném s modulem M, je nutné:
Pomocí vzorce (32) vypočítejte rozměry podprostorů M ij, podřízených j-ových složek neredukovaného jevu T i.
Zjistěte za pomoci operátora návrhu (39) všechny podprostory M ij .
Vyberte dostatečný ortonormální základ pro oblast pokožky M ij.
Pomocí vikoristického vzorce (41) zjistěte všechny prvky báze, které lze transformovat na další složky neredukovaného jevu T i.
Ahoj linkový operátor Ažije v euklidovském prostoru E n a přeměňuje tento prostor v sebe.
Zadáno jmenování: operátor A* budeme kontaktovat operátora A pro libovolné dva vektory x, y z E n označuje žárlivost skalárních výtvorů ve tvaru:
(Axe, y) = (x, A*y)
Více jmenování: lineární operátor se nazývá samopřijímající, protože je podobný svému přijatému operátoru, pak je rovnost spravedlivá:
(Axe, y) = (x, Ay)
nebo, zokrema ( Axe,x) = (x, Ax).
Samostatný operátor může fungovat jako síla. Pojďme hádat, co dělají:
Autoritou čísla samopřijímaného operátora je řeč (bez důkazu);
Vektory samogenerovaného operátoru jsou ortogonální. Abych byl spravedlivý x 1і x 2 jsou mocninné vektory a 1 a 2 jsou jejich mocninná čísla, pak: Sekera 1 = 1 X; Sekera 2 = 2 X; (Osa 1, x 2) = (x 1, sekera 2), nebo 1 ( x 1, x 2) = 2 (x 1, x 2). Střepy 1 a 2 masakry, pak zvidsi ( x 1, x 2) = 0, čehož bylo nutné dosáhnout.
Euklidovský prostor má ortonormální základ z mocninových vektorů samogenerovaného operátoru A. To znamená, že matici samodefinovaného operátoru lze nyní redukovat na diagonální pohled v libovolné ortonormální bázi, složenou z mocninových vektorů samodefinovaného operátoru.
Ještě jeden jmenování: nazývá se operátor soběstačnosti, který existuje v euklidovském prostoru symetrický operátor Podívejme se na matici symetrického operátoru. Uveďme následující: Aby byl operátor symetrický, je nutné a postačující, aby matice byla symetrická ve své ortonormální bázi.
Pojďme A- Symetrický operátor, pak:
(Axe, y) = (x, Ay)
Yakshcho A je matice operátoru A, a Xі y- Deyakiho vektory, pak zapíšeme:
souřadnice Xі y pro skutečný ortonormální základ
Todi: ( x, y) = X T Y = Y T X i maєmo ( Axe, y) = (AX) T Y = X T A T Y
(x, Ay) = X T (AY) = X T AY,
tobto. X T A T Y = X T AY. Při dostatečném počtu matic X,Y je tato rovnost možná pouze pro AT = A, což znamená, že matice A je symetrická.
Pojďme se podívat na počínání linkových operátorů
Operátor design Potřebujete znát matici lineárního operátoru, který promítá triviální prostor do souřadnicového celku E 1 na základně E 1 , E 2 , E 3 . Matice lineárního operátoru je matice, ve které mohou být obrazy základních vektorů E 1 = (1,0,0), E 2 = (0,1,0), E 3 = (0,0,1). Tento obrázek zjevně znamená: Ae 1 = (1,0,0)
Ae 2 = (0,0,0)
Ae 3 = (0,0,0)
No, na základně E 1
,
E 2
,
E 3
Matice hledaného lineárního operátoru: 
Známe jádro tohoto operátora. Jádro je identické s určeným – neexistují žádné vektory X, pro jakoukoli AX = 0. Or
To znamená, že jádro operátora se stává neosobním vektorem, který leží v rovině E 1 , E 2 . Velikost jádra je stejná jako n - rangA = 2.
Neosobní obraz tohoto operátora je samozřejmě neosobní vektory, kolineární E 1 . Velikost obrazového prostoru je podobná hodnosti řádkového operátora a předchozí úrovni 1 což má menší rozměr k prostoru prototypů. Tedy operátora A- Virogeny. Matrix A také virogen.
Další zadek: najděte matici lineárního operátoru, který pracuje v prostoru V 3 (základ i, j, k) lineární transformace - symetrie k začátku souřadnic.
Maemo: Ai = -i
Tedy matrice shukana 
Pojďme se podívat na lineární znovuvytvoření - symetrie k rovině y = X.
Aj = i(1,0,0)
Ak = k (0,0,1)
Operátorová matice bude:
Dalším příkladem je již známá matice, která při otáčení souřadnicových os spojuje souřadnice vektoru. Operátor, který obnáší rotaci souřadných os, nazvěme – operátor rotace. Je přípustné, aby na rohu byla odbočka :
Ai' = cos i+ hřích j
Aj' = -hřích i+ cos j
Operátor rotace matice:
Ai ‘ Aj ‘
Zde jsou vzorce pro transformaci souřadnic bodu při změně základny - nahrazení souřadnic v rovině při změně základny:
E 
Na tyto vzorce lze nahlížet krok za krokem. Dříve jsme se na tyto vzorce dívali tak, že tečka stojí na místě a souřadnicový systém se otáčí. Tímto způsobem lze také vidět, že souřadnicový systém se nezmění a bod se přesune z polohy M * do polohy M. Souřadnice bodu M a M * jsou určeny ve stejném souřadnicovém systému.
U 
Vše výše uvedené nám umožňuje dosáhnout dalšího úkolu, před kterým stojí programátoři, kteří se zabývají grafikou na EOM. Na obrazovce EOM musíte otočit určitý plochý obrazec (například trikubitule) do bodu O se souřadnicemi (a, b) k určitému rohu . Rotace souřadnic je popsána vzorcem:
Souběžně s převodem bude zajištěno:
K dokončení tohoto úkolu použijte jednoduchou techniku: zadejte stejné souřadnice bodu v rovině XOY: (x, y, 1). Tato matice, která funguje paralelně s přenosem, může být zapsána:
Efektivní:
A matice se otočí:
Záhada, kterou lze vidět, může být více než třikrát:
1. řádek: rovnoběžně s přenosem k vektoru A(-a, -b) pro přizpůsobení středu otáčení se souřadnicemi:
2. potok: odbočte na roh :
3. řádek: rovnoběžně s přenosem do vektoru A(a, b) pro otočení do středu otáčení v poloze kola:
Shukanova lineární transformace v maticovém zobrazení:
(**)
