I. Вирази, складені з чисел, змінних та його ступенів, з допомогою дії множення називаються одночленами.
Приклади одночленів:
а) a; б) ab; в) 12; г)-3c; д) 2a 2 ∙(-3,5b) 3 ; е)-123,45 xy 5 z; ж) 8ac∙2,5a 2 ∙(-3c 3).
ІІ. Такий вид одночлена, коли на першому місці стоїть числовий множник (коефіцієнт), а за ним змінні зі своїми ступенями, називають стандартним видом одночлена.
Так, одночлени, наведені вище, під літерами а Б В), г)і е)записані у стандартному вигляді, а одночлени під літерами д)і ж)потрібно привести до стандартного вигляду, тобто до такого виду, коли на першому місці стоїть числовий множник, а за ним записують буквені множники з їх показниками, причому буквені множники стоять в алфавітному порядку. Наведемо одночлени д)і ж)до стандартного вигляду.
д) 2a 2 ∙(-3,5b) 3=2a 2 ∙(-3,5) 3 ∙b 3 =-2a 2 ∙3,5∙3,5∙3,5∙b 3 = -85,75a 2 b 3;
ж) 8ac∙2,5a 2 ∙(-3c 3)=-8∙2,5∙3a 3 c 3 = -60a 3 з 3 .
ІІІ.Суму показників ступенів всіх змінних, що входять до складу одночлена, називають ступенем одночлена.
приклади.Який ступінь мають одночлени а) - ж)?
а) a.Першу;
б) ab.Другу: ав першому ступені та bу першому ступені-сума показників 1+1=2 ;
в) 12. Нульову, тому що буквених множників немає;
г) -3с.Першу;
д) -85,75a 2 b 3 .П'яту. Ми привели цей одночлен до стандартного вигляду, маємо ау другому ступені та bу третій. Складаємо показники: 2+3=5 ;
е) -123,45xy 5 z.Сьому. Склали показники ступенів буквених множників: 1+5+1=7 ;
ж) -60a 3 з 3 .Шосту, оскільки сума показників буквених множників 3+3=6 .
IV. Одночлени, що мають однакову буквену частину, називаються подібними до одночленів.
приклад.Вказати подібні одночлени серед цих одночленів 1) -7).
1) 3aabbc; 2) -4,1a 3 bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 2 bac; 5) 10aaa 2 x; 6) -2,3a 4 x; 7) 34x 2 y.
Наведемо одночлени 1), 4) і 5) до стандартного вигляду. Тоді рядок даних одночленів виглядатиме так:
1) 3a 2 b 2 c; 2) -4,1a 3 bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 3bc; 5) 10a 4 x; 6) -2,3a 4 x; 7) 34x 2 y.
Подібними будуть ті, що мають однакову літерну частину, тобто. 1) і 3); 2) та 4); 5) та 6).
1) 3a 2 b 2 c та 3) 56a 2 b 2 c;
2) -4,1a 3 bc та 4) 98,7a 3bc;
5) 10a 4 x та 6) -2,3a 4 x.
Одночлен- це вираз, що є твір двох або більше співмножників, кожен з яких є числом, вираженим буквою, цифрами або ступенем (з цілим невід'ємним показником):
2a, a 3 x, 4abc, -7x
Так як добуток однакових співмножників можна записати у вигляді ступеня, то окремо взятий ступінь (з цілим невід'ємним показником) також є одночленом:
(-4) 3 , x 5 ,
Так як число (ціле або дробове), виражене буквою або цифрами, можна записати у вигляді добутку цього числа на одиницю, то будь-яке окремо взяте число теж можна розглядати як одночлен:
x, 16, -a,
Стандартний вид одночлена
Стандартний вид одночлена- це одночлен, у якого лише один числовий множник, який обов'язково має бути записаний на першому місці. Всі змінні стоять в алфавітному порядку і утримуються в одночлен тільки один раз.
Числа, змінні та ступеня змінних також відносяться до одночленів стандартного вигляду:
7, b, x 3 , -5b 3 z 2 – одночлени стандартного вигляду.
Числовий множник одночлена стандартного виду називається коефіцієнтом одночлена. Коефіцієнти одночлена рівні 1 та -1 зазвичай не пишуть.
Якщо в одночлен стандартного виду немає числового множника, то мається на увазі, що коефіцієнт одночлена дорівнює 1:
x 3 = 1 · x 3
Якщо в одночлен стандартного виду немає числового множника і перед ним стоїть знак мінус, то мається на увазі, що коефіцієнт одночлена дорівнює -1:
-x 3 = -1 · x 3
Приведення одночлена до стандартного вигляду
Щоб привести одночлен до стандартного вигляду треба:
- Перемножити числові множники, якщо їх кілька. Звести числовий множник у ступінь, якщо має показник. Поставити числовий множник на перше місце.
- Перемножити всі однакові змінні, щоб кожна змінна зустрічалася лише одноразово.
- Розташувати змінні після числового множника в алфавітному порядку.
приклад.Подайте одночлен у стандартному вигляді:
а) 3 yx 2 · (-2) y 5 x; б) 6 bc · 0,5 3
ab
а) 3 yx 2 · (-2) y 5 xРішення: x 2 xyy 5 = -6x 3 y 6
= 3 · (-2) б) 6 bc · 0,5б) 6 · 0,5b 3 3 = 6 · 0,5 = 3· 0,5 4 3 = 6 · 0,5
c
Ступінь одночленаСтупінь одночлена
- це сума показників ступенів всіх літер, що входять до нього.
Якщо одночлен є числом, тобто не містить змінних, його ступінь вважається рівною нулю. Наприклад:
5, -7, 21 - одночлени нульового ступеня.
Отже, щоб знайти ступінь одночлена, потрібно визначити показник ступеня кожної з літер, що входять до нього, і скласти ці показники. Якщо показник літери не вказано, він дорівнює одиниці.
Приклади: xТак як у
показник ступеня не зазначений, отже він дорівнює 1. Інших змінних одночлен не містить, отже, його ступінь дорівнює 1.
3) · 0,5 3 3 = 6 · 0,5 2 Одночлен містить лише одну змінну в другому ступені, значить ступінь даного одночлена дорівнює 2.
d aПоказник bдорівнює 1, показник 3 = 6 · 0,5- 3, показник Одночлен містить лише одну змінну в другому ступені, значить ступінь даного одночлена дорівнює 2.- 1. Ступінь цього одночлена дорівнює сумі цих показників.
Одночлени є творами чисел, змінних та його ступенів. Числа, змінні та його ступеня теж вважаються одночленами. Наприклад: 12ac, -33, a^2b, a, c^9. Одночлен 5aa2b2b можна навести на вигляд 20a^2b^2.Такий вид називається стандартним видом одночлена.Тобто, стандартний вид одночлена - це добуток коефіцієнта (що стоїть на першому місці) і ступенів змінних. Коефіцієнти 1 та -1 не пишуть, але від -1 зберігають мінус. Одночлен та його стандартний вигляд
Вирази 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x є творами чисел, змінних та їх ступенів. Такі вирази називаються одночленами. Одночленами також вважають числа, змінні та його ступеня.
Наприклад, вирази - 8, 35, y та y2 - одночлени.
Стандартним видом одночлена називається одночлен у вигляді твору числового множника, що стоїть на першому місці, і ступенів різних змінних. Будь-який одночлен можна привести до стандартного вигляду шляхом перемноження всіх змінних чисел, що входять до нього. Наведемо приклад приведення одночлена до стандартного вигляду:
4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5
Числовий множник одночлена, записаного у стандартному вигляді, називають коефіцієнтом одночлена. Наприклад, коефіцієнт одночлена -7x2y2 дорівнює -7. Коефіцієнти одночленів x3 та -xy вважають рівними 1 та -1, оскільки x3 = 1x3 та -xy = -1xy
Ступенем одночлена називають суму показників ступенів всіх змінних, що входять до нього. Якщо одночлен не містить змінних, тобто є числом, його ступінь вважають рівною нулю.
Наприклад, ступінь одночлена 8x3yz2 дорівнює 6, одночлена 6x дорівнює 1, одночлена -10 дорівнює 0.
Розмноження одночленів. Зведення одночленів у ступінь
При множенні одночленів та зведенні одночленів у ступінь використовується правило множення ступенів з однаковою основою та правило зведення ступеня у ступінь. При цьому виходить одночлен, який зазвичай становлять у стандартному вигляді.
Наприклад
4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3
((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6
Ми зазначили, що будь-який одночлен можна привести до стандартного вигляду. У цій статті ми розберемося, що називають приведенням одночлена до стандартного вигляду, які дії дозволяють здійснити цей процес, та розглянемо рішення прикладів із докладними поясненнями.
Навігація на сторінці.
Що означає привести одночлен до стандартного вигляду?
З одночленами зручно працювати, коли вони записані у стандартному вигляді. Однак досить часто одночлени задаються у вигляді, відмінному від стандартного. У цих випадках завжди можна перейти від вихідного одночлена до одночлена стандартного вигляду, виконавши тотожні перетворення. Процес проведення таких перетворень називають приведенням одночлена до стандартного виду.
Узагальним наведені міркування. Привести одночлен до стандартного вигляду- Це означає виконати з ним такі тотожні перетворення, щоб він набув стандартного вигляду.
Як привести одночлен до стандартного вигляду?
Настав час розібратися з тим, як наводити одночлени до стандартного вигляду.
Як відомо з визначення, одночлени нестандартного виду є творами чисел, змінних та їх ступенів, причому, можливо, повторюваних. А одночлен стандартного виду може містити в своєму записі тільки одне число і змінні, що не повторюються, або їх ступеня. Тепер залишилося зрозуміти, як твори першого виду привести до другого?
Для цього потрібно скористатися наступним правилом приведення одночлена до стандартного вигляду, що складається з двох кроків:
- По-перше, виконується угруповання числових множників, а також однакових змінних та їх ступенів;
- По-друге, обчислюється добуток чисел і застосовується .
Внаслідок застосування озвученого правила будь-який одночлен буде наведено до стандартного вигляду.
Приклади, рішення
Залишилося навчитися застосовувати правило з попереднього пункту під час вирішення прикладів.
приклад.
Приведіть одночлен 3 x 2 x 2 до стандартного вигляду.
Рішення.
Згрупуємо числові множники та множники зі змінною x. Після угруповання вихідний одночлен набуде вигляду (3·2)·(x·x 2) . Добуток чисел у перших дужках дорівнює 6, а правило множення ступенів з однаковими основами дозволяє вираз у других дужках уявити як x1+2=x3. У результаті отримуємо багаточлен стандартного виду 6 x 3 .
Наведемо короткий запис рішення: 3 · x · 2 · x 2 = (3 · 2) · (x · x 2) = 6 · x 3.
Відповідь:
3 · x · 2 · x 2 = 6 · x 3 .
Отже, для приведення одночлена до стандартного виду необхідно вміти проводити угруповання множників, виконувати множення чисел і працювати зі ступенями.
Для закріплення матеріалу вирішимо ще один приклад.
приклад.
Подайте одночлен у стандартному вигляді та вкажіть його коефіцієнт.
Рішення.
Вихідний одночлен має у своєму записі єдиний числовий множник −1, перенесемо його на початок. Після цього окремо згрупуємо множники зі змінною a, окремо – зі змінно b, а змінну m групувати нема з чим, залишимо її як є, маємо 
. Після виконання дій зі ступенями в дужках одночлен набуде потрібного нам стандартного вигляду, звідки видно коефіцієнт одночлена, що дорівнює −1. Мінус одиницю можна замінити знаком мінус: .