vyznachnikiv n GO příkaz
1. Metoda redukce na trikotový vzhled.
a) Vypočítejte vyznachnik:.
Vіdnіmayuchi první řádek z usіh іnshih, otrimuєmo vyznachnik, který může mít trikotový vzhled a také dobutku diagonální prvky:
. V sáčku D n = (–1)n –1 .
b) Vypočítejte vítěze: 
.
Vіdnіmaєmo první řádek z reshti, a pak, zі stovptsіv vyznachnik vinosim: od prvního A 1 – X; od jiného A 2 – X; …..; h nčt a n – X. Bereme:
D = (A 1 – X) (A 2 - X)… (a n–X) 
.
Zapišme si první prvek prvního sloupce v pohledu: = 1 + і všechny sloupce odstraněného označujícího, přidejte do prvního sloupce. Ubíráme znak trikotového vzhledu, což je dražší způsob dokončení diagonálních prvků. Otec:
D = (A 1 – X) (A 2 – X)…(a n – X)X + + + … + .
2. Metoda vidění lineárních multiplikátorů.
a) Vypočítejte předchůdce.
1. Přičtením k prvnímu sloupci jsou další tři, zdá se, že v prvním sloupci je společný násobitel, který je dražší X + na + z. Otzhe, tyran se přihlásí X + na + z.
2. Podobně, přičteme-li k prvnímu sloupci, druhému, a uvážíme-li třetí a čtvrtý sloupec, je zřejmé, že označující se dělí na x - y – z.
3. Pokud je první schůdek složen třetím a druhým a čtvrtým, pak bereme v úvahu, že znak je rozdělen na x - y + z.
4. Pokud do prvního sloupce přidáte čtvrtinu a uvidíte další a třetí sloupec, je zřejmé, že označující je násobitel x - y + z. Otec:
Je jasné, že vyznachnik je bohatý příslušník 4. stupně X, za y já tím z. Vpravo je také bohatý výraz stejného kroku. Tome PROTI= Konst. Vyznáček X 4 zadejte na dodanok:
A 12 A 21 A 34 A 43 = (-1) 2x X× X× X× X = X 4 .
V pravé části starší člen X: Vx 4, tobto. PROTI= 1. Vezměte výsledek:
= (X + y + z)(X – y – z)(X – y + z)(X + y – z) = X 4 + y 4 + z 4 – 2X 2 y 2 – 2X 2 z 2 – 2na 2 z 2 .
b) Vypočítejte vítěze n pořadí: 
.
Tento vyznachnik se nazývá Vandermondův vyznachnik. Zírat na Yogo jako bohatý kohout ( n-1) krok šodó x n je lepší, když se vin změní na 0 x n = X 1, x n= X 2, … x n = x n- 1. Todi D n = a n – 1 (x n – X 1)(x n – X 2) … (x n– x n–1), navíc a n –1 = = D n-1. Opakováním tohoto postupu vezmeme: D n = (X 2 – X 1)(X 3 – X 2)(X 3 – X 1)(X 4 – X 3)(X 4 – X 2)(X 4 – –X 1)… = .
3. Způsob odevzdání vyznachniku je jako sumi vyznachniků.
Vypočítejte obětního beránka: 
.
Vzhledem k tomu, že prvky prvního sloupce jsou prezentovány jako součet dvou čísel, položíme označující součet dvou označujících:
.
Nyní jsou kůže z otrimanih vyznachnikiv rozloženy v tašce dvou vyznachnikiv, spěchajíc podél, že prvky jiných stovptsіv jsou jim předloženy v pohledu na částky, a tak dále. Zrobivshi tse, vezmi to pryč ( n> 2), takže řady vybraných kandidátů budou následující: a i, a i, …, a i nebo b 1, b 2, …, mld. KčŘádky 1. typu jsou proporcionální, 2. typu se rovnají, a proto jsou všechna sčítání rovna nule. Otec: D n = 0 ("n > 2).
Pro vyznachniki stejného typu, ale je přijato první a další pořadí:
D 1 = | A 1 +b 1 | = A 1 +b 1 ; D 2 = =
= A 1 b 2 –A 2 b 2 +b 1 A 2 – A 1 b 1 = (A 1 – A 2)b 2 + (A 2 + A 1)b 1 = (A 1 – A 2)(b 2 – b 1).
Metoda rekurentních (soustružnických) spinů.
Vypočítejte vítěze n pořadí: 
.
Položením návazce za prvky první řady vezmeme opakující se spiving: D n= 
.
Po oznámení signatáře v pravé části projevu v prvním sloupci zapíšeme nový opakující se projev: D n= 5D n –1 – 6D n –2 .
Dávat tse spіvvіdnoshnja v vyglyadі: D n– 2D n –1 = 3(D n –1 – 2D n-2) a úvody k rozpoznávání:
T n= D n– 2D n-1 Bereme: T n= 3T n –1 – 3 2 T n-2 = ... = 3 n-2 T 2 = 3n.
Podobně, když jsem si zapsal rekurzivní spіvvіdnoshennia při pohledu: D n– 3D n –1 = 2(D n –1 – 3D n-2) to znamená: V n= D n– 3D n-1 Odnímatelné V n= 2V n = 1 = 2 2 V n –2 =…= 2n .
Vidpovіd: POWER 1. Hodnota označujícího se nemění, proto nahraďte všechny řádky sloupci, navíc nahraďte řádek skinu sloupcem se stejným číslem, takže
OPRÁVNĚNÍ 2. Permutace dvou sloupců nebo dvou řad označujícího zvýší násobitel yogo o -1. Například,
.POWER 3. Pokud vedoucí může mít dva stejné sloupce nebo dva stejné řádky, pak se víno rovná nule. Například,
.POWER 5. Jsou-li všechny prvky daného řádku nebo řádku rovny nule, pak je samotný princip rovna nule. Tsya dominion є říkejme tomu dopředný sklon (při k = 0). součet dvou dodankіv, pak úředník může mít představu, vidí-li součet dvou poukázek, z nichž jeden n-tý sloupec v opačném případě n-tá řada může první z hádání dodankiv, a poslední - ostatní; prvky, rády stojí v jiných misích, ve všech třech svatých v jednom. Například,
MOC 8. Pokud jde o prvky posledního sloupce (nebo posledního řádku), přidejte další prvky druhého sloupce (nebo druhého řádku), vynásobené jakýmkoli druhem spalujícího násobitele, hodnota označujícího se nezmění. . Například,
.
Pryč od moci vyznachnikіv pov'yazanі z ponyazanі z dodatky dodatku algebry a moll. Menší prvek deacogo je jméno signatáře, které je převzato z daného způsobu vyhrát řadu a stát, na sítnici takového rotashavanie tohoto prvku. є číslo páru a znak návratu, což je číslo nepáru.
dobrý součet výtvorů prvků, ať už existuje jakákoli kombinace (řada) s vlastními algebraickými sčítáními.
Vyznachnik. Jedná se o bohatý termín, který kombinuje prvky čtvercové matice v takové hodnosti, že její hodnota se bere při transpozici a lineárních kombinacích řádků a sloupců. Tobto, vyznachnik charakterizuje změnu matice. Zokrema, což jsou řádky s lineárním uložením nebo stovpty v matici, - ukazatel je blíže nule. na divokou vapadku matice může být přiřazena přes nějaký druh komutativního kruhu, v takovém případě bude označující prvek stejného kruhu. Signifikant matice A je označen jako: nebo Δ(A).
5.virogenní matrice. matice je zabalena, її síla, výpočet, věta o uvažování.
Poznámka: Virogenní, singulární (singulární) matice je čtvercová matice A, což znamená, že prvotní (Δ) se rovná nule. Jiným způsobem se matice A nazývá nepanenská.
Podívejme se na problém přiřazení operace, která se obrací k násobícím maticím.
No tak - čtvercová matice pořadí. Matice, která je splněna najednou z dané matice rovnosti:
Říká se tomu blbost. Matrice se nazývá reverzibilní, protože je skutečně reverzibilní, jinak je nevratná.
Z vznachennya klouzal, scho th reverzní matice іsnuє, vyhrál čtverec ієї w pořadí, jak i . Pro čtvercovou matici to však neplatí. Pokud je matice rovna nule, neexistuje žádný bod obratu. Ve skutečnosti, zastosovuyuchi teorém o identitě matice pro jednu matici, je nutné odstranit
Střepy znaménka jedné matice jsou dražší sérová matrice. Předpokládá se, že čtvercová matice, která se rovná nule, se nazývá virogen (speciální), jinak - nevirogen (nespeciální).
Věta 4.1 o bázi a jednotě pivotní matice. Čtvercová matice, označující, který vypadá jako nula, může mít obrácenou matici a pouze jednu před:
| (4.1) |
de - matice, transponovaná pro matici, složená z přísad v algebře maticových prvků.
Matice se nazývá sousední matice odkazem na matici.
Matrix je opravdu ohromující. Posunutím ukážete, že jde o návrat k, tobto. uspokojuje dvě mysli:
Pojďme přinést první žárlivost. Vіdpovіdno až do bodu 4 pro respektování 2.3, z pravomoci náčelníka vyplyvaє, scho. Tome
co bylo potřeba ukázat. Podobně je nastolena další vyrovnanost. Otzhe, pro mysl se matrice může vrátit
Jednota stěžejní matice se může dostat do popředí ve formě opaku. No tak, smetano, je tu ještě jedna otočná matrice 
No a co. Znásobení zraněných částí žárlivosti zla na matrixu 
. Zvіdsi, scho superchit pripuschenu. Otzhe, zabalená matrice єdina.
Respekt 4.1
1. Volba je jasná, že matice a permutace.
2. Matice, obrácená na nepanenskou diagonálu, také diagonální:
3. Matrice zabalená do nepanenského spodního (horního) trikotu, є spodního (horního) trikotu.
4. Elementární matice Mayut zvorotni, yakі є elementární (div. str. 1 pro respekt 1.11).
Dominance stěžejní matice
Operace s maticí může mít stejnou sílu:
Senzorické operace jsou zpravidla indikovány u 1-4.
Přinášíme mocninu 2: abychom získali nedegenerativní čtvercové matice stejného řádu, máme rotační matici, pak .
Abych řekl pravdu, primární zdroj matic se nerovná nule, střepy
Otzhe, vorotna matrice іsnuє єdina. Lze ukázat, že matice je reverzní matice. Diyno:
Z jednoty spásné matrice je patrná vyrovnanost. Přinesla další síla. Podobně jsou uvedeny tyto další charakteristiky.
Respekt 4.2
1. Pro komplexní matici platí rovnost, podobně jako mocnina 3:
De - operace získávání matic.
2. Operace soustružení matic umožňuje zvolit počet záporných kroků matice. Pro nevirogenní matrici je významné jakékoli přirozené číslo 
.
6. soustavy lineárních čar. Koeficienty pro nedomické, volné členy. Vývoj soustavy lineárních čar. Rozdělení soustavy lineárních čar. Systém lineárních homogenních rovností a singularit.
Verdikt: Systém lineárních ekvalizací algebry, který pomstít m se rovná a n nevіdomih, se nazývá systém mysli
kde čísla a ij se nazývají koeficienty soustavy, čísla b i jsou volné členy. Vypočítejte hodnotu čísla xn.
Takový systém lze zapsat ručně ve formě kompaktní matice
Zde je A matice systémových koeficientů, nazývaná hlavní matice;
Vector stovpets z nevіdomih x j .
Vektorové složení všech členů b i .
Byly přiřazeny další matice A*X, skaláry pro matici A stovptsіv styl w, škálovatelné řádky pro matici X (n kusů).
Rozšířenou maticí soustavy je matice A soustavy doplněná o hlavu volných členů
Řešení soustavy se nazývá n hodnota neznámé x 1 =c 1 , x 2 =c 2 , ..., x n =c n , při doložení takové soustavy je soustava znovu vytvořena na správnou rovnováhu. Zda řešení systému lze zapsat na pohled matice-stovptsya
Systém rovných se nazývá koherentní, jako by nemohl mít jedno řešení, a byl šílený, protože nemohl mít řešení.
Dělený systém se nazývá zpívající, protože existuje pouze jedno řešení, které je neviditelné, protože existuje více řešení. V různých časech se řešení nazývá soukromé řešení systému. Posloupnost všech ostatních rozhodnutí se nazývá konečná rozhodnutí.
Virishiti systém - tse znamená z'yasuvati, spilna nebude pošetilá. Jak je systém koherentní, víte її do očí bijící řešení.
Tyto dva systémy se nazývají ekvivalentní (stejně silné), protože zápach může být úplně stejné řešení. Jinými slovy, systémy jsou ekvivalentní, jako kožní řešení k jednomu z nich, k jiným řešením a naopak.
Objevují se ekvivalentní systémy, zokrema, s elementárními transformacemi systému pro mysl, že transformace již nejsou nad řádky matice.
Systém lineárních rovností se nazývá homogenní, protože všechny příslušné členy se rovnají nule:
Homogenní systém je rozhodně koherentní, úlomky x 1 = x 2 = x 3 = ... = x n = 0 є systémová řešení. Řešení se nazývá nulové nebo triviální.
4.2. Virishennya systémy lineárních čar.
Kronecker-Capelliho věta
Dám vám pěkný systém n lineárních čar z n nevidomím
Kronecker-Capelliho teorém dává dobrou představu o složitosti systému.
Věta 4.1. Systém lineárních zarovnání algebry je stejný, pouze pokud je hodnost rozšířené matice systému rovna hodnosti hlavní matice.
Přijatelné bez potvrzení.
Pravidla praktického rozboru všech řešení styčníkového systému lineárních vedení vycházejí z postupujících teorémů.
Věta 4.2. Vzhledem k tomu, že hodnost společného systému je vyšší než počet non-domů, systém lze pouze vyřešit.
Věta 4.3. Pokud je hodnost společného systému menší pro počet non-domů, pak může být systém neosobním řešením.
Pravidlo rozv'yazannya dovіlnoї systém lineárních čar
1. Najděte pořadí hlavní a rozšířené matice systému. Stejně jako r(A)≠r(A) je systém šílený.
2. Jestliže r(A)=r(A)=r, systém je dvojitý. Zjistěte, co je základní moll v řádu r (hádejte: moll, jehož pořadí určuje hodnost matice, se nazývá základní). Vezměte r rivnyan, z jehož koeficientů se skládá základní moll (inshі rіvnyannya vіdkinuti). Není známo, jejichž koeficienty jsou zahrnuty do základního moll, nazývají se hlavovými a zbavují je zla a reshta n-r neznámý nazvěte to vіlnimi a přeneste to do pravé části rovných.
3. Znát způsob hlavy nevіdomikh přes vіlnі. Otrimano zagalne řešení systému.
4. Nadayuchi vіlnim nevіdomim dovіlnі znachennya, otrimaєmo vіdpovіdnі vіdnі vіdnі vіdnі navіdny neіdomih. V této hodnosti můžete znát soukromé řešení vnějšího systému řek.
Příklad 4.1.
4.3 Vývoj nevirogenních lineárních systémů. Cramerovy vzorce
Dovolte mi, abych vám poskytl systém n lineárních čar z n neznámých
(4.1)
forma chi matice A * X \u003d B.
Základní matice takového systému je čtvercová. Významné pro matici
nazýván arbitrem systému. Pokud je známo, že primát systému je nulový, pak se systém nazývá nepanenský.
Známe rozpad tohoto systému rovnosti v časech D¹0
Vynásobení problematických částí rovnice A * X \u003d Y levoruch maticí A -1 je odstraněno
A-1 *A*X=A-1*B Oscilki. A -1 *A=E i E*X=X, pak
Řešení soustavy za vzorcem (4.1) se nazývá maticová metoda řešení soustavy.
Maticovou rovnost (4.1) lze zapsat v termínech
Podívejte se, co následuje
Ale є rozladannya vyznachnik
pro prvky prvního sloupce. Signifikantní D 1 opustit znaménko D nahrazením prvního sloupce koeficientů vedoucím volných členů. Otzhe,
Podobně:
de D2 odečtením D nahrazením jiného stomptsіentsіv stovptsієntіv svіnіh sіmіnіv:
se nazývají Cramerovy vzorce.
Také systém n lineárních zarovnání z n nelze vždy nalézt v jediném řešení, které lze nalézt maticovou metodou (4.1) nebo Cramerovými vzorci (4.2).
Příklad 4.3.
4.4 Variace soustav lineárních vedení Gaussovou metodou
Jeden z nejuniverzálnějších efektivní metodyřešením lineárních algebraických systémů je Gaussova metoda, která pracuje v posloupnosti inkluzí.
Nechť je dán systém rovných
Postup řešení Gaussovou metodou a dvoustupňový. V první fázi (rovný hіd) je systém nasměrován do stupňovité (zokrema, trikutny) formy.
Systém je zobrazen níže
Koeficienty aii se nazývají hlavní prvky systému.
V další fázi (obrat) a pak později, jmenování nevіdomih z tsієї stepіnchastoy systému.
Gaussovu metodu popíšeme ve zprávě.
Pojďme předělat systém (4.3) tak, že do všech protějšků zahrneme nějaký x1, nejprve karmínový (wicory elementární přepracování systému). Pro koho násobíme urážky prvních stejných částí a ukládáme to termín po termínu s ostatními rovnými v systému. Vynásobme urážky první části rovného a uložme třetí rovný systému. Pokračujeme v tomto procesu a bereme ekvivalentní systém
Zde - nové hodnoty koeficientů a správných dílů, jak se objevují po prvním háčkování.
Analogická hodnost, vvazhayuchi hlava prvek, včetně nevidome x 2 všech rovných v systému, crim první a další, a tak dále. V tomto procesu pokračujeme, dokud to bude možné.
Takže v procesu redukce systému (4.3) na stupňovitý tvar je deklarována nulová rovnost, takže je dána rovnost tvaru 0 = 0, їх. 
tedy o nekonzistentnosti systému.
Druhý stupeň (otočná hlava) je v blízkosti horní části systému stupňů. Postupný systém je stejný, zdánlivě vzagali, může být neosobní řešení, Ve zbývající stejné části systému je vidět nejprve neznámé x k přes další neznámé (x k + 1, ..., x n). Zaveďme hodnotu x k, než dostaneme soustavu rovnu a otočíme x k-1 skrz (x k + 1, ..., x n). , Pak víme x k-2, ..., x 1. . Doufáme, že ne (x k + 1, ... x n). dostatečnou hodnotu, odebereme neosobní řešení systému.
Respekt:
1. Protože se stupňová soustava jeví jako trojúhelníková, takže k = n, může mít vnější soustava pouze jedno řešení. Od zbytku rovného známe x n od zbytku rovného x n-1 , pojďme se systémem do kopce, známe zbytek neznámého (x n-1 ,...,x 1).
2. V praxi je výhodnější cvičit ne se systémem (4.3), ale s rozšířenou maticí, soustředit se na všechny elementární transformace nad її řádky. Je to praktické tak, že koeficient a 11 se přičte k 1 (rovnosti nahraďte body nebo vydělte problematické části rovnosti číslem 11 ¹1).
Příklad 4.4.
Řešení: V důsledku elementárních transformací nad expandovanou maticí systému
výstupní systém byl doveden do fáze:
Proto je řešení systému: x 2 \u003d 5x 4 -13x 3 -3; x 1 \u003d 5x 4 -8x 3 -1 Pokud dáme například x 3 \u003d 0,x 4 \u003d 0, pak známe jedno ze soukromých řešení systému 1 = -1, x2 = -3, x3 = 0, x4 = 0.
zadek 4,5.
Zkontrolujte systém pomocí Gaussovy metody:
Řešení: Elementárnější transformace nad řádky systému rozšířené matice:
Otrimanova matice ve vіdpovidає systémech
Zdiysnyuyuchi zvorotny hіd, víme x 3 = 1, x 2 = 1, x 1 = 1.
4.5 Systémy lineárních rovnoměrných vyrovnání
Dovolte mi, abych vám poskytl systém lineárních uniformních rivnyanů
Je zřejmé, že homogenní systém je vždy koherentní, může existovat nulové (triviální) řešení x 1 =x 2 =x 3 =...=x n =0.
Pro jaké typy myslí je homogenní systém možný a nenulová řešení?
Věta 4.4. Aby byl systém homogenních rovností malý a nenulový, je nutné a postačující, aby hodnost r її hlavní matice byla menší než číslo n, tedy r Nutnost. Protože hodnost nemůže změnit velikost matice, pak samozřejmě r<=n. Пусть r=n. Тогда один из минеров размера nхn отличен от нуля. Поэтому соответствующаясистема линейных уравнений имеет единственное решение: Otzhe, ostatní, neexistují žádná triviální rozhodnutí. Také, jako netriviální řešení, r Dostupnost: Pojď r Věta 4.5. Aby byl homogenní systém n lineárních rovností s n nenulovými řešeními vždy malý, je nutné a postačující, aby її varianta D byla rovna nule, pak D=0. Pokud má systém nenulové řešení, D=0. Protože při D¹0 je systém menší než jedna, nulové řešení. Jestliže D=0, pak hodnost r hlavní matice systému je menší než počet non-domů, tzn. r Příklad 4.6. Zkontrolujte systém Pokud x 3 \u003d 0, vezmeme jedno řešení: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d 0. Pokud x 3 \u003d 1, můžeme vzít další soukromé řešení: x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1 atd. ÚŘAD 1. Hodnota rozcestníku se nemění, proto nahraďte všechny řádky sloupci, navíc nahraďte řádek skinu sloupcem se stejným číslem, takže OPRÁVNĚNÍ 2. Permutace dvou sloupců nebo dvou řad označujícího zvýší násobitel yogo o -1. Například, MOC 3. Pokud může mít vedoucí dvě stejné řady nebo dvě stejné řady, pak se víno rovná nule. MOC 4. Reprodukce všech prvků jednoho stovptsya nebo jednoho řádku vyznachnika o tom, zda je číslo větší než násobení vyznachniku na celém čísle k. Například, OPRÁVNĚNÍ 5. Jsou-li všechny prvky daného řádu rovny nule, pak samotný vůdce je roven nule. Tsya dominion є říkejme tomu dopředný sklon (při k=0). ORGANIZACE 6. Jsou-li dva stejné prvky dvou sloupců nebo dvou řádků poměrného sloupce, pak se stejný jeden rovná nule. MOC 7. Je-li prvek kůže n-tého sloupce nebo n-tého řádku označujícího součtem dvou sčítání, pak označující může mít reprezentace v pohledu na součet dvou znamének, z nichž jedno na n-tý sloupec, nebo možná v n-té řadě shі zі zgadanih dodankiv, a další - ostatní; prvky, rády stojí v jiných misích, ve všech třech svatých v jednom. Například, MOC 8. Pokud jde o prvky posledního sloupce (nebo posledního řádku), přidejte další prvky druhého sloupce (nebo druhého řádku), vynásobené jakýmkoli druhem spalujícího násobitele, hodnota označujícího se nezmění. . Například, Pryč od moci vyznachnikіv pov'yazanі z ponyazanі z dodatky dodatku algebry a moll. Menší prvek deacogo je název označujícího, který je převzat z daného způsobu vyhrát řádek a sloupec, na sítnici takového rotashavanie tohoto prvku. Dodatek algebry o tom, zda existuje prvek znaménka předchozího moll prvku, braný s vlastním znaménkem, jako součet čísel v řádku a sloupci, na sítnici jakékoli kombinace prvku , číslo páru a znaménko návratu jako číslo nepáru. Algebraické doplnění prvku bude označeno stejnojmenným velkým písmenem a stejným číslem, což je písmeno, které označuje samotný prvek. MOC 9. Vyznachnik dobrý součet výtvorů prvků, ať už existuje jakákoli kombinace (řada) s vlastními algebraickými sčítáními. V opačném případě, visící na, sekání prostoru takové ekvivalence: 6) Menšinové a algebraické sčítání. Jmenování. Vedlejším prvkem označujícího je tl objednat název vyznachnik- pořadí, kudy z toho ven vyznachnik vykreslyuvannyam - th řádek i - st stovptsya, na jehož pereline je prvek. Označení: . Jmenování. Algebraické doplňky k prvku primát - v prvním řádu se nazývají yogo moll, přičemž zі se znaménkem plus, yakscho - chlapské číslo і zі se znaménkem mínus v jiném tahu. Označení: . Teorém. (O uspořádání vyznachnika.) Vedoucí nejbohatšího součtu výtvorů prvků libovolné řady (nebo nějakého druhu) vedoucího na jejich doplňcích do algebry: 7) Matice obrození- taka matice A −1
, po vynásobení jakem, výstupní matice A dát výsledek jediná matice E: čtvercová matice obchodovatelné tehdy a jedině tehdy, pokud není virogenní, pak je vyznachnik nerovná se nule. Pro nečtvercové matice, virogenní matrice neexistují žádné návratové matice. Je však možné usnadnit jeho pochopení a představení pseudoreverzní matice, podobně jako zvorotnі pro bohatství moci. 8)Hodnost matice- nejlepší v pořádku nezletilí hodnoty matice, které vypadají jako nula Volání hodnosti matice je označeno () nebo . Přestupky k nám přišly z cizího jazyka, takže přestupky mohou mít kořeny. Napájení Věta (o základní moll): Nechť r = rang AM je základní moll matice A, pak: základní řádky a základní sloupce jsou lineárně nezávislé; Zda je řádek (stovpchik) matice A lineární kombinací základních řádků (stovptsiv). - Nechte sýkoru zemřít! Pamatuji si, že třída před 8. já nebyla vhodná pro algebru. Nelíbilo se mi to. Bіla mě vyhrála. Protože tam ničemu nerozumím. A pak se vše změnilo k tomu, že jsem prorazil jeden čip: V matematice vzagali (a algebře vědy) bude vše na gramotném a následném systému jmenování. Znát účel, porozumět jejich podstatě - nezáleží na tom, chápat jinak. Otak i z téma dnešní lekce. Podíváme se podrobně na kіlka summіzhnyh moci a vznacheni, z jakého důvodu, jednou provždy, budete vytříděni a s matricemi a s náčelníky a se silou autority. Vizionáři jsou ústředním konceptem v maticové algebře. Podobně jako u vzorců krátkého násobení vás znovu prověří v rámci vyšší matematiky. K tomu je to čtivé, žasnu nad tím. :) A podívejme se na to nejdůležitější – co je matrice? A je správné z toho cvičit. Matice je tabulka plná čísel. Neo tady nic není. Jedním z klíčových ukazatelů matice je tse її rozmirnіst, že. počet řad a stovptsiv, z nichž jsou složeny. Zdá se, že matice $A$ může expandovat $\left[ m\krát n \right]$, protože má $m$ řádků a $n$ sloupců. Napište to takto: Abo osa takto: Buvayut a іnshi znachennya - zde by mělo být vše přirovnáno k lektorovi / seminaristovi / autorovi učitele. Ale v každém případě z usima tsimi $ \ vlevo [m \ krát n \ vpravo] $ і $ ((a)_ (ij)) $ vinikaє jeden a tentýž problém: Jaký je index pro jaké víno? Zpět na číslo řádku, pak stovptsya? Abo navpak? Při čtení přednášek se tito asistenti zdají být zjevní. Ale pokud spíte před vámi - je to méně než list zavdannya, můžete to přehnat a nadšení se ztratí. Pojďme na to tedy jednou provždy přijít. Pro klas, pojďme vytvořit dokonalý souřadnicový systém pro školní kurz matematiky: Zavedení souřadnicového systému na rovině Pamatuješ si? Existuje ucho souřadnic (bod $O=\left(0;0 \right)$) osy $x$i $y$ a bod kůže v rovině je jednoznačně přiřazen k souřadnicím: $A= \left(1;2 \ right )$, $B=\left(3;1 \right)$ a tak dále. A nyní vezmeme tuto konstrukci a seřaďme ji podle matice tak, aby klas souřadnic byl u levého horního záhybu. Proč jsi tam? Ten, kdo otevře knihu, začneme číst v levém horním rohu strany - je snazší si to zapamatovat pro legendu. Ale kde narovnat osu? Nasměrujme je tak, aby těmito osami byla pokryta celá naše virtuální strana. Je pravda, že jeden z nich otočí náš souřadnicový systém. Jediná možná varianta takové distribuce: Nyní může mít kožní buňka matice jedinečné souřadnice $x$ a $y$. Například zápis $((a)_(24))$ znamená, že přejdeme k prvku se souřadnicemi $x=2$ a $y=4$. Rozšíření matice jsou jednoznačně definována dvojicí čísel: Jen se uctivě divte tomuto obrázku. Pohrajte si se souřadnicemi (zejména pokud pracujete se správnými maticemi a arbitry) – a brzy pochopíte, co se naučit z těch nejsložitějších vět a označení, a zázračně pochopíte, kam jít. Dostal jsi to? No, přejděme k první části osvěty - geometrické označení vyznachnik. Rádi bychom upozornili, že vektor se používá pouze pro čtvercové matice tvaru $ \ left [n \ krát n \ right] $. Arbitr je celé číslo, protože respektuje pravidla zpěvu a jednu z charakteristik této matice (є іnshі charakteristiky: hodnost, mocenské vektory, ale o tse v jiných lekcích). No a jaká je charakteristika? Co to znamená? Je to jednoduché: Znaménkem čtvercové matice $A=\left[ n\times n \right]$ je celý rovnoběžnostěn $n$-světa, což umožňuje nahlížet na řádky matice jako na vektor, což umožňuje okraje toho rovnoběžnostěnu. Například označující matice 2x2 je pouze plocha rovnoběžníku a pro matici 3x3 je to již trojrozměrný rovnoběžnostěn - stejný, který tak hrají všichni středoškoláci v hodinách stereometrie. . Schůzka se na první pohled může zdát zcela nedostatečná. Ale, nespěchej s visnovki - díváme se na zadky. Opravdu, všechno je elementární, Watsone: Manažer. Najděte klíčové matice: \[\left| \begin(matice) 1 & 0 \\ 0 & 3 \\\end(matice) \right|\quad \left| \begin(matice) 1 & -1 \\ 2 & 2 \\end(matice) \right|\quad \left| \začátek(matice)2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \\\konec (matice) \right|\] Řešení. První dva vyznachniki mohou rozmir 2x2. Je to jen oblast rovnoběžek. Modleme se za ně a ubližme náměstí. První impulsní rovnoběžník na vektorech $((v)_(1))=\left(1;0 \right)$ i $((v)_(2))=\left(0;3 \right)$: Je zřejmé, že nejde jen o rovnoběžník, ale o celý obdélník. Oblast jógy je zdravá Další paralelogram podnětů na vektorech $((v)_(1))=\left(1;-1 \right)$ i $((v)_(2))=\left(2;2 \right)$ . No, tak co? Tse je také obdélník: Strany tohoto obdélníku (v podstatě dva vektory) jsou snadno pochopitelné podle Pythagorovy věty: \[\begin(zarovnat) & \left| ((v)_(1)) \right|=\sqrt(((1)^(2))+((\left(-1 \right))^(2)))=\sqrt(2); \\ & \left| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(((2)^(2))+((2)^(2)))=\sqrt(8)=2\sqrt(2); \&S=\left| ((v)_(1)) \right|\cdot \left| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(2)\cdot 2\sqrt(2)=4. \\end(zarovnat)\] Nebylo více rozіbratisya se zbývajícím vyznachnik je již matice 3x3. Přijďte se podívat na stereometrii: Vypadá to rozumně, ale nakonec vyřešte vzorec pro objem kvádru: de $S$ - plocha základny (z našeho pohledu plocha rovnoběžníku v rovině $OXY$), $h$ - výška vykreslená do středu základny (ve skutečnosti $ z$-souřadnice vektoru $((v)_(3) )$). Oblast rovnoběžníku (pokřtili jsme okremo) lze snadno pochopit: \[\begin(align) & S=2\cdot 3=6; \&V=S\cdot h=6\cdot 4=24.\\end(align)\] Ode mě všech! Názory zapisujeme. Návrh: 3; 4; 24. Málo se respektuje označení systému. Kdo si, zpívaj, nezaslouží, abych ignoroval "šipky" nad vektory. Nibito, takže si můžete splést vektor s trochou nebo něčím jiným. Ale buďme vážní: chlapci a dívka s vámi již vyrostli, z kontextu je to zázračně pochopitelné, pokud mluvíte o vektoru a pokud mluvíte o bodu. Šípy s menší pravděpodobností rozmažou růže, a tak je třeba navléknout provázek na zadní stranu pomocí matematických vzorců. já víc. V zásadě se nic nestará o to, abyste se podívali na znak matice 1x1 - taková matice je pouze jeden klíč a číslo zapsané v této buňce bude klíčem. Ale tady je důležitý respekt: Na vіdmіnu vіd klаsichnogo vyagu, vyznachnik nám tak tituly zaměření", pak. obyag z urakhuvannyam sledovnostі razglyadu vektorіv-ryadkіv. A pokud chcete ubrat od klasického rozumného slova, máte šanci vzít si modul označujícího, ale zároveň si s tím nedělejte starosti – stejně se za pár sekund naučíme brát do zohledni, zda je to signifikant s nejakymi znaky, rozmiry atd.: ) Se vší krásou ostrosti geometrického přístupu můžeme mít vážný nedostatek: nemůžeme nám říci nic o těch, kteří jsou nejdůležitější. Proto okamžitě rozebereme alternativní označení - algebraické. Pro koho budeme potřebovat krátkou teoretickou průpravu, pak na výjezd vezmeme nástroj, který vám umožní zapsat do matrik to, co vždy stojí za to. No, to je pravda, objeví se tam nový problém ... ale o všem, garazde. Zapišme za sebou čísla od 1 do $ n $. Podívejte se na typ chogo: Nyní (čistě pro zábavu) si pamatujeme pár čísel po měsících. Soud můžete změnit: A můžete - ne nezbytní soudci: Víš co? Ale nic! V algebře se tomu svinstvu říká permutace. Nedostanu moc schopností. Jmenování. Permutace $n$ je řada $n$ různých čísel zapsaných v libovolné posloupnosti. Začněte se dívat na prvních $n$ přirozených čísel (to jsou čísla 1, 2, ..., $n$) a poté je promíchejte, abyste odstranili potřebnou permutaci. Permutace jsou takto označeny jako vektory - stačí písmeno a následné přeskupení jejich prvků na ramenech. Například: $p=\left(1;3;2 \right)$ nebo $p=\left(2;5;1;4;3 \right)$. Dopis může být i takový, ale ať je $p$. :) Pro jednoduchost jsme dali praktickou práci s permutacemi staré 5 - smrad se už bere vážně, aby se zabránilo jakémukoli podezřelému efektu, a ještě více tlumí pro křehký mozek, jako je permutace staré 6 a více. Axis používá tyto permutace: \[\begin(align) & ((p)_(1))=\left(1;2;3;4;5 \right) \\ & ((p)_(2))=\left(1 ;3;2;5;4 \right) \\ & ((p)_(3))=\left(5;4;3;2;1 \right) \\\end(zarovnat)\] Permutaci $n$ lze přirozeně považovat za funkci, protože je přiřazena k neosobnímu $\left\( 1;2;...;n \right\)$ a lze ji efektivně zobrazit jako neosobnost na sebe. Když se otočíme a zapíšeme permutace $((p)_(1))$, $((p)_(2))$ a $((p)_(3))$, můžeme legálně napsat: \[((p)_(1))\left(1 \right)=1;((p)_(2))\left(3 \right)=2;((p)_(3))\ vlevo(2\vpravo)=4;\] Počet různých permutací starého $n$ je vždy ohraničen a přičten k $n!$ - to je fakt, který lze snadno vynést z kombinatoriky. Například, pokud chceme zapsat všechny permutace dozhini 5, budeme v pokušení, úlomky takových permutací budou Jednou z klíčových charakteristik každé permutace je počet inverzí v nich. Jmenování. Inverze v permutaci $p=\left(((a)_(1));((a)_(2));...;(a)_(n)) \right)$ - pojď do páru $ \left(((a)_(i));((a)_(j)) \right)$ takové, že $i \lt j$, ale $((a)_(i)) \gt ( (a)_(j))$. Zdánlivě jednodušší, inverze - pokud je počet koshtuє livishe menší (ne obov'yazkovo sudіdny). Pomocí $N\left(p \right)$ můžeme označit počet inverzí v permutacích $p$, ale buďte připraveni dozvědět se o jiných významech u různých autorů a u různých autorů – zde neexistují žádné jednotné standardy. Už teď je téma inverze skvělé a úkolů na hodinu bude spousta. Naším úkolem je přitom jednoduše naučit se je respektovat v reálných úkolech. Uvažujme například počet inverzí v permutaci $p=\left(1;4;5;3;2 \right)$: \[\left(4;3 \right);\left(4;2 \right);\left(5;3 \right);\left(5;2 \right);\left(3;2 \right ); ).\] Takže $ N \ vlevo (p \ vpravo) = $ 5. Stejně jako bachit není pro nikoho nic hrozného. Řeknu vám to ještě jednou: dají nám stejné číslo $N\left(p \right)$, ale čísla jeho parity/neparity. A zde plynule přecházíme ke klíčovému termínu denní lekce. Dejte čtvercovou matici $ A = \ vlevo [n \ krát n \ vpravo] $. Todi: Jmenování. Významná matice $ A = \ vlevo [n \ krát n \ vpravo] $ - celý algebraický součet $ n! $ dodankіv, složený v nadcházející hodnosti. Skin dodanok - cena $n$ prvků matice, odebraná jeden po druhém z řady skinu a pahýlu kůže, vynásobená (-1) počtem kroků inverzí: \[\left| A \right|=\sum\limits_(n(((\left(-1 \right))^(N\left(p \right)))\cdot ((a)_(1;p\left(1) \right)))\cdot ((a)_(2;p\left(2 \right)))\cdot ...\cdot ((a)_(n;p\left(n \right))) )\]!} Zásadním bodem při výběru násobků pro kožní řasu v záhybu je skutečnost, že každý druhý den nestojí dva násobky ve stejné řadě, ale ve stejném sloupci. Z nějakého důvodu, aniž bychom zasahovali do soudržnosti, je možné pochopit, že indexy $i$ multiplikátorů $((a)_(i;j))$ "procházejí" hodnotami 1, ..., $n$ a indexy $j$ є určitou permutací v prvním: A pokud je to permutace $p$, můžeme snadno invertovat $N\left(p \right)$ — a boží složka je hotová. Samozřejmě, že žádný z nich nebrání mysli násobičů v jakékoli dodance (jinak ve všech případech - proč to bliká?), A dokonce i první indexy budou takovou permutací. Ale ve výsledku se nic nemění: celkový počet inverzí v indexech $i$ a $j$ má paritu s podobnými podmínkami, které se řídí starým dobrým pravidlem: Typ permutace multiplikátorů nemění čísla. Osa pouze nemusí aplikovat pravidlo na násobení matic - na vstup násobení čísel, není komutativní. Ale pak jsem se vzrušil. Zagal se může podívat na matici 1x1 - bude tam jeden clitin, a її vyznachnik, ať hádáš jakkoli, víc než číslo napsané v tomto clitinu. Nic lepkavého. Podívejme se na čtvercovou matici o velikosti 2x2: \[\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\konec(matice)\vpravo]\] Oskіlki kіlkіst řádky na nіy $n=2$, pak arbitr místa $n!=2!=1\cdot 2=2$ dodankіv. Píšeme їх: \[\begin(align) & ((\left(-1 \right))^(N\left(1;2 \right)))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a) _(22))=((\left(-1 \right))^(0))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a)_(22))=((a)_ (11)) ((a)_(22)); \\ & ((\left(-1 \right))^(N\left(2;1 \right)))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21)) =((\left(-1 \right))^(1))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21))=((a)_(12))( (a)_(21)). \\end(zarovnat)\] Je jasné, že permutace $\left(1;2 \right)$, že dva prvky nemají žádné inverze, že $N\left(1;2 \right)=0$. A osa y je permutována $ \ vlevo (2; 1 \ vpravo) $ jedna inverze є (vlasne, 2< 1), поэтому $N\left(2;1 \right)=1.$ Univerzální vzorec pro výpočet hodnoty pro matici 2x2 vypadá takto: \[\left| \begin(matice) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\end( matice) \right|=((a)_(11))((a)_(22))-((a)_(12))((a)_(21))\] Graficky můžete ukázat, jak mají přídavné prvky stát na úhlopříčce hlavy, mínus přídavné prvky na straně: Pojďme se podívat na šprot aplikací: \[\left| \begin(matice) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\end(matice) \right|;\quad \left| \začátek(matice) 7 & 12 \\ 14 & 1 \\\konec (matice) \vpravo|.\] Řešení. Vše je umístěno v jedné řadě. Matice persha: Přítel: Vidpovid: -3; -161. Vtіm, tse Bulo nadto prostě. Pojďme se podívat na matice 3x3 tam už. Nyní se podívejme na čtvercovou matici 3x3: \[\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) & ((a)_(33) ) \\\konec(matice) \vpravo]\] Při výpočtu її arbitra bereme 3 $! \u003d 1 \ cdot 2 \ cdot 3 \u003d 6 $ dodankіv - stále to nestačí na paniku, ale stále dost, abyste mohli začít vtipkovat o zákonech. Poprvé zapisujeme všechny permutace tří prvků a možná i inverzi v jejich kůži: \[\začátek(zarovnání) & ((p)_(1))=\left(1;2;3 \right)\Šipka doprava N\left(((p)_(1)) \right)=N\ left(1; 2; 3\right) = 0; \\ & ((p)_(2))=\left(1;3;2 \vpravo)\Šipka doprava N\left(((p)_(2)) \right)=N\left(1;3 ;2 \vpravo) = 1; \\ & ((p)_(3))=\left(2;1;3 \vpravo)\Šipka doprava N\left(((p)_(3)) \right)=N\left(2;1 ;3 \vpravo) = 1; \\ & ((p)_(4))=\left(2;3;1 \vpravo)\Šipka doprava N\left(((p)_(4)) \right)=N\left(2;3 ;1\vpravo) = 2; \\ & ((p)_(5))=\left(3;1;2 \vpravo)\Šipka doprava N\left(((p)_(5)) \right)=N\left(3;1 ;2\vpravo) = 2; \\ & ((p)_(6))=\left(3;2;1 \vpravo)\Šipka doprava N\left(((p)_(6)) \right)=N\left(3;2 ;1 \vpravo) = 3. \\konec(zarovnat)\] Když jsem byl převeden, bylo zapsáno celkem 6 permutací $((p)_(1))$, ... $((p)_(6))$ (přirozeně by bylo možné zapsat їх jiným sekvence - podstatou toho není změna) a počet inverzí, které se mění z 0 na 3. Zagalom, budeme mít tři dodanki s „plus“ (tam de $ N \ vlevo (p \ vpravo) $ - chlap) a tři další s „mínusem“. A se zagalem, vyznachnik vvazhatimetsya pro vzorec: \[\left| \begin(matice) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a) _(22) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) & ((a)_(33)) \\\konec (matice) \right|=\begin(matice) ((a)_(11))((a)_(22))((a)_(33))+((a)_(12))( (a)_(23))((a)_(31))+((a)_(13))((a)_(21))((a)_(32))- \\ -( (a)_(13))(a)_(22))(a)_(31))-((a)_(12))(a)_(21))(a)_ (33))-((a)_(11))(a)_(23))((a)_(32)) \\\konec (matice)\] Osa jen nemusí sedět najednou a zuřivě nacpat všechny indexy! Místo nepřiměřených čísel si zapamatujte následující jednoduché pravidlo: Trickster pravidlo. Pro znak znaku matice 3x3 je nutné přidat tři výtvory prvků, které stojí na hlavové diagonále na vrcholcích rovnostehenních trikotů na straně rovnoběžné s diagonálou a pak vidí totéž tři výtvory, ale na straně dia honil. Schematicky to vypadá takto: Samotní tsі trikutniks (abo pentagramy - komu to sluší víc) milují odstíny v jakýchsi pomocníkech a příručkách z algebry. Vtim, nemluvme o součtu. Vezměme si raději jednu takovou votivku na rozcvičku před pravou plackou. Manažer. Vypočítejte označující: \[\left| \začátek(matice) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 1 \\\konec (matice) \right|\] Řešení. Procvičte si pravidlo triků. Na zadní straně hlavy jsou tři další kusy, složené z prvků na hlavě diagonálně a paralelně: \[\začátek(zarovnání) & 1cdot 5cdot 1+2cdot 6cdot 7+3cdot 4cdot 8= \& =5+84+96=185 \end(align) \] Nyní rozumíme boční úhlopříčce: \[\začátek(zarovnání) & 3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot 1+1\cdot 6\cdot 8= \\ & =105+8+48=161 \\konec (zarovnání) \ ] Přítelovi zbylo méně než první den - a my si to odnášíme: Ode mě všech! Tim není o nic méně, mistři matic 3x3 stále nejsou vrcholem mistrovství. Dejte nám prosím šek. :) Jak víme, se zvětšováním velikosti matice $n$ se počet dodankіv v písaři stává $n!$ a rychle roste. Stejně, faktoriál – není pro vás, abyste to dělali jako psí křen, je to rychle rostoucí funkce. Už pro matice 4x4 dejte vyznachniki dopředu (tedy přes permutace), jako by to nebylo moc dobré. Asi 5x5 a více jsem zazpíval slovo. K tomu jsou jáhnové moci náčelníka napojeni na pravici, ale k tomuto uvažování je potřeba trochu teoretického školení. Jsi připraven? Pojďme! Dejme dostatečnou matici $ A = \ vlevo [m \ krát n \ vpravo] $. Respekt: ne obov'yazkovo náměstí. Na vіdmіnu vіd vyznachnіv, minori – tse nyashki, yakі іsnuyut nejen v suvori čtvercových matric. Zvolme v i-té matici kіlka (například $k$) řádky i stovptsіv, navíc $1\le k\le m$ і $1\le k\le n$. Todi: Jmenování. Minor řádu $k$ je znakem čtvercové matice, která je použita na sítnici zvolených $k$ sloupců a řádků. Také v moll nazýváme samotnou qiu novou matricí. Je označena taková vedlejší $((M)_(k))$. Přirozeně jedna matice může pojmout celý počet nezletilých blízkých $k$. Těžba osy menší řád 2 pro matici $\left[5\krát 6\vpravo]$: Absolutně neobov'yazkovo, takže vybrané řady a stovpty stály jako držadlo, jako pohled na zadnici. Golovna, že počet vybraných řádků a sloupců byl stejný (počet $k$). Є th іnshe vyznachennya. Případně pro koho je to hodnější: Jmenování. Dejte pravoúhlou matici $ A = \ vlevo [m \ krát n \ vpravo] $. Hned po neděli v nіy jeden nebo více dekіlkoh stovptsіv i jeden nebo jeden dekіlkoh řádky se čtvercová matice rozšíří $ \ vlevo [k \ krát k \ vpravo] $, pak її vyznachnik - tse i є minor $ ((M)_ (k )) $. Samotná matrice je také někdy nazývána jako minor - to bude zřejmé z kontextu. Jako bych ukazoval svou velrybu, někdy je lepší otočit se jednou od 11. nad jídlem, snížit žvatlání, sedět na balkóně. zadek. No tak, vzhledem k matrixu Výběrem řádku 1 a stovety 2 vezmeme moll prvního řádu: \[((M)_(1))=\left| 7\vpravo|=7\] Výběrem řádků 2, 3 a sloupců 3, 4 vezmeme nezletilého v jiném pořadí: \[((M)_(2))=\left| \začátek(matice) 5 & 3 \\ 6 & 1 \\\konec (matice) \right|=5-18=-13\] A tak vyberte všechny tři řádky a také sloupce 1, 2, 4 budou vedlejší třetího řádu: \[((M)_(3))=\left| \začátek(matice) 1 & 7 & 0 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\\konec (matice) \right|\] Pro čtenáře není důležité znát další drobné řády 1, 2 nebo 3. Pojďme na to. "No, dobře, co bychom nám měli dát qi minyoni minori?" - Zpívejte, ptáte se. Sám - nic. Ale ve čtvercových matricích u skin moll má "společníka" - další moll, stejně jako další algebru. І najednou tsі dvě facky, abychom mohli cvakat vyznachniky jako hrach. Jmenování. Nechť je dána čtvercová matice $A=\left[ n\krát n \right]$, ve které je zvolena vedlejší $((M)_(k))$. Potom další vedlejší pro vedlejší $((M)_(k))$ je počet kusů matice $A$, která se ztratí, když se přeškrtnou všechny řádky a sloupce, když vedlejší $((M)) _(k))$ je složeno: Jeden bod lze objasnit: dodatečná moll není jen „matrix kus“, ale znak tohoto kusu. Přidané nezletilé osoby jsou označeny jako další „zirochki“: $M_(k)^(*)$: de operation $A\nabla ((M)_(k))$ doslova znamená „obnovit z $A$ řádků a sloupců, které jdou až do $((M)_(k))$“. Tato operace není v matematice běžná - sám jsem vymyslel dobré vysvětlení krásy. :) Dodatkovy minori zřídka vítězí mocnými silami. Smrad je součástí skládací konstrukce - algebraické sčítání. Jmenování. Algebraické sčítání k moll $((M)_(k))$ je komplementární moll k $M_(k)^(*)$, násobení množstvím $((\left(-1 \right))^( S))$ , kde $S$ je součet čísel všech řádků a sloupců za vnějším vedlejším $((M)_(k))$. Doplněk vedlejší algebry $((M)_(k))$ se zpravidla značí $((A)_(k))$. Tom: \[((A)_(k))=((\left(-1 \right))^(S))\cdot M_(k)^(*)\] Důležité? Na první pohled ano. Ale, ne přesně. Protože je to opravdu snadné. Podívejme se na příklad: zadek. Vzhledem k matici 4x4: Vibermo minor v jiném pořadí \[((M)_(2))=\left| \začátek(matice) 3 & 4 \\ 15 & 16 \\\konec (matice) \vpravo|\] Kapitán Obviousness nám zdůrazňuje, že při skládání mollů byly přidány řádky 1 a 4 a také sloupce 3 a 4. Ztratil jsem znát číslo $S$ a vzít sčítání algebry. Známe čísla zadních řádků (1 a 4) a sloupců (3 a 4), vše je jednoduché: \begin(align) & S=1+4+3+4=12; \\ & ((A)_(2))=((\left(-1 \right))^(S))\cdot M_(2)^(*)=((\left(-1 \right) ) )^(12))\cdot \left(-4 \right)=-4\end(zarovnat)\] Odpověď: $((A)_(2))=-4$ Ode mě všech! Ve skutečnosti je celý rozdíl mezi doplňkovou moll a doplňkovou algebrou pouze mínus dopředu, to tak není. A osa našeho dalšího, nyní, ve světle, byla potřeba všechna čísla v menšinách a algebraické sčítání. Laplaceova věta o uspořádání arbitra. Nechte matici expandovat $ \ doleva [n \ krát n \ doprava] $ $ k $ jsou vybrány řádky (stovptsіv) a $ 1 \ le k \ le n-1 $. Stejný arbitr matice je nejdůležitějším součtem všech výtvorů v nezletilých v řádu $k$, které jsou umístěny v řadách (stows) na jejich dodatcích algebry: \[\left| A \right|=\součet(((M)_(k))\cdot ((A)_(k)))\] Navíc se takové sčítání bude rovnat $C_(n)^(k)$. Garazde, laskavě: o $C_(n)^(k)$ - už se předvádím, v původní Laplaceově větě nic takového nebylo. Ale, kombinatorika ničemu nepodlehla a doslova letmý pohled na mysl vám umožní samostatně se rozmyslet tak, že si dodáte styl. Nepřineseme, i když se nestaneme obzvlášť obtížnými - všechna rozložení jsou zredukována na staré dobré permutace a párování / nepárování inverzí. Důkaz důkazu bude uveden v pěkném odstavci a dnes můžeme mít každodenní praktickou lekci. Přejděme proto k blízké budoucnosti věty, pokud jsou vedlejšími členy maticové matice. Ti, kteří najednou pide mov - jako hlavní nástroj práce s vyznachnikami, kvůli nimž byla veškerá hra zahájena s permutacemi, moll a algebraickými sčítáními. Čtěte a užívejte si: Důsledek Laplaceovy věty (uspořádání arbitra v pořadí/stowptsyu). Nechte matici expandovat $ \ doleva [n \ krát n \ doprava] $ je vybrán jeden řádek. Nezletilí v tomto řádku budou $n$ okremy klitins: \[((M)_(1))=((a)_(ij)),\quad j=1,...,n\] Aditivní minory lze také snadno zadat: stačí vzít matici a nahradit řádek a sloupec, abyste pomstili $((a)_(ij))$. Říkáme tomu moll $M_(ij)^(*)$. Pro doplnění algebry je potřeba číslo $S$, ale v případě menšího řádu 1 je to pouze součet „souřadnic“ buňky $((a)_(ij))$: A stejnou proměnnou proměnnou lze zapsat pomocí $((a)_(ij))$ a $M_(ij)^(*)$ podobně až do Laplaceova teorému: \[\left| A \right|=\sum\limits_(j=1)^(n)(((a)_(ij))\cdot ((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot ((M)_(ij)))\] Tse i є vzorec pro rozložení signatáře za řadou. Ale te same i pro stovptsіv. Z tohoto důsledku lze okamžitě formulovat šprot visnovkiv: Důležitý je zejména zbytek skutečnosti. Například na ochranu šprota trpaslíka 3x3 teď bude stačit zástupce prodavače zvířat 4x4 - zdá se, že už se k nim pasujeme. Manažer. Najděte označující: \[\left| \začátek(matice) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\\konec (matice) \right|\] Řešení. Tento vyznachnik rozložíme v první řadě: \[\begin(zarovnat)\left| A \right|=1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \začátek(matice) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\konec (matice) \right|+ & \\ 2\cdot ((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \ vlevo| \začátek(matice) 4 & 6 \\ 7 & 9 \\konec (matice) \right|+ & \\ 3\cdot ((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \ vlevo| \začátek(matice) 4 & 5 \\ 7 & 8 \\konec (matice) \vpravo|= & \\konec (zarovnání)\] \[\begin(align) & =1\cdot \left(45-48 \right)-2\cdot \left(36-42 \right)+3\cdot \left(32-35 \right)= \\ & =1\cdot \left(-3 \right)-2\cdot \left(-6 \right)+3\cdot \left(-3 \right)=0. \\end(zarovnat)\] Manažer. Najděte označující: \[\left| \začátek(matice) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\konec (matice) \right|\ ] Řešení. Pro rozmanitost si ještě jednou zacvičme se stovptsy. Například ve zbytku sloupce jsou dvě nuly - samozřejmě je důležité urychlit výpočet. Infekce, proč. Otzhe, rozmístíme oltář podle čtvrtého sloupce: \[\begin(zarovnat)\left| \začátek(matice) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\konec (matice) \right|= 0 \cdot ((\left(-1 \right))^(1+4))\cdot \left| \začátek(matice) 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\konec (matice) \right|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \) vpravo))^(2+4))\cdot \left| \začátek(matice) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\konec (matice) \right|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \) vpravo))^(3+4))\cdot \left| \začátek(matice) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\konec (matice) \right|+ & \\ +0\cdot ((\left(-1 \) vpravo))^(4+4))\cdot \left| \begin(matice) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matice) \right| &\\\konec (zarovnat)\] A tady - oh, úžasné! - dva dodanki okamžitě řeknou kočce ocas, střepy v nich jsou násobilkou "0". Zbývají dva další vyznachniky 3x3, které lze snadno roztřídit: \[\begin(zarovnat) & \left| \začátek(matice) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\konec (matice) \right|=0+0+1-1-1-0=-1; \\ & \left| \začátek(matice) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\konec (matice) \right|=0+1+1-0-0-1=1. \\end(zarovnat)\] Vraťte se k víkendu a známe důkazy: \[\left| \začátek(matice) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\konec (matice) \right|= 1 \cdot \left(-1 \right)+\left(-1 \right)\cdot 1=-2\] No, ode všeho. ↑ 4 dny! = 24 dodankіv se nepodařilo zadat. :) Odpověď: -2 Ve zbytku problému jsme se snažili, protože přítomnost nul v řádcích (stowptsy) matice výrazně zjednodušuje rozložení rozcestníku a zohledňuje všechny výpočty. Obviňujte přirozenou výživu: proč nemůžete pracovat tak, že se zdálo, že nuly udeří na váš matrix, proč nezasáhly? Důkaz je jednoznačný: možné, možné. A zde nám pomůžu přijít na pomoc autoritě jmenovaného: Zvláště cenné stát se třetí mocností: můžeme odečíst z jednoho řádku (stovptsia). Většinu času je rozrahunka vytvořena dříve, aby se „vynulovaly“ celé stovpety, karmínové jednoho prvku, a pak se rozložil znak této stovptsya, čímž se odstraní matrice o 1 méně. Zajímalo by nás, jak to funguje v praxi: Manažer. Najděte označující: \[\left| \začátek(matice) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\konec (matice) \right|\ ] Řešení. Nejsou zde žádné nuly, jako by bi vzagali nebyly plakát, takže můžete "zdvojnásobit" v libovolném pořadí nebo stovptsyu - výpočet bude přibližně stejný. Nenechme razminyuvatisya na drіbnitsa a "nulovat" první řadu: nová se již є kіtin s jednou, pak vezmeme jen první řadu a vidíme 4krát z druhé, 3krát ze třetí a 2krát z odpočinek. V důsledku toho odebereme novou matici, ale rozhodcem budeme my sami: \[\begin(matice)\left| \začátek(matice) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\konec (matice) \vpravo|\ začátek (matice) \downarrow \\ -4 \\ -3 \\ -2 \\end(matice)= \\ =\left| \začátek(matice) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4-4\cdot 1 & 1-4\cdot 2 & 2-4\cdot 3 & 3-4\cdot 4 \\ 3-3\cdot 1 & 4-3cdot 2 & 1-3cdot 3 & 2-3cdot 4 \ 2-2cdot 1 & 3-2cdot 2 & 4-2cdot 3 & 1-2cdot 4 \ \\konec (matice) \right|= \\ =\left | \začátek(matice) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -7 & -10 & -13 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ \end(matice)\right| \\\konec(matice)\] Nyní, s nedotknutelností Patz, pokládáme tohoto vyznachnika podle prvního kroku: \[\begin(matice) 1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \začátek(matice) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\konec (matice) \right|+0\cdot ((\ vlevo (-1 \right))^(2+1))\cdot \left| ... \right|+ \\ +0\cdot ((\left(-1 \right))^(3+1))\cdot \left| ... \right|+0\cdot ((\left(-1 \right))^(4+1))\cdot \left| ... \vpravo| \\\konec(matice)\] Došlo mi, že „živý“ je menší než první dodanok - u reshti jsem nevypsal znaky, smrad smradu se stejně násobí nulou. Koeficient před vyznachnikem je dobrý, tobto. jógu lze zaznamenat. Za „mínusy“ tří řad lídra lze vinit Prote. Ve skutečnosti trichové přinesli násobitel (−1): \[\left| \begin(matice) -7 & -10 & -13 \ -2 & -8 & -10 \ -1 & -2 & -7 \\end(matice) \right|=\cdot \left| \začátek(matice) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\konec (matice) \right|\] Odvezli jsme další 3x3 vyznachnik, který můžete porahuvat podle pravidla trikutnik. A zkusme si to rozložit na první řadu - ve zbývající řadě je dobré stát hrdě sám: \[\begin(align) & \left(-1 \right)\cdot \left| \začátek(matice) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\konec (matice) \vpravo|\začátek (matice) -7 \\ -2 \\ \nahoru \ \ \end(matice)=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matice) 0 & -4 & -36 \\ 0 & 4 & -4 \\ 1 & 2 & 7 \\end(matice) \right|= \\ & =\cdot \left| \začátek(matice) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\konec (matice) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left| \začátek(matice) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\konec(matice) \vpravo| \\end(zarovnat)\] Je samozřejmě možné si užít trochu více zábavy a rozložit matici 2x2 v pořadí (do zásobníku), ale my jsme pro vás dostačující, je prostě úžasné vidět: \[\left(-1 \right)\cdot \left| \začátek(matice) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\konec (matice) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left(16+144 \right)=-160\ ] Otaku, zlomím svět. Celkem 160 za vіdpovіdі. :) Vidpovid: -160. Pár respektu před Timem, takže přejděme ke zbytku úkolu: Manažer. Najděte označující: \[\left| \začátek(matice) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\konec (matice) \right|\ ] Řešení. Tady první řádek požaduje „nulování“. Uděláme první krok a z rozhodnutí uvidíme přesně jednou: \[\begin(zarovnat) & \left| \začátek(matice) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\konec (matice) \right|= \ \&=\left| \začátek (matice) 1 & 1-1 & 1-1 & 1-1 \\ 2 & 4-2 & 8-2 & 16-2 \\ 3 & 9-3 & 27-3 & 81-3 \\ 5 & 25-5 & 125-5 & 625-5 \\konec (matice) \right|= \\ & =\left| \začátek(matice) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 6 & 14 \\ 3 & 6 & 24 & 78 \\ 5 & 20 & 120 & 620 \\konec (matice) \right| \\end(zarovnat)\] Rozložíme to v první řadě a pak obviňujeme bujné násobiče řádků, které jsou vynechány: \[\cdot\left| \začátek(matice) 2 & 6 & 14 \\ 6 & 24 & 78 \\ 20 & 120 & 620 \\\konec (matice) \right|=\cdot \left| \začátek(matice) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\konec (matice) \right|\] Udělám nový plakát „krásných“ čísel, ale na prvním místě rozmístíme nápis: \[\begin(align) & 240\cdot \left| \začátek(matice) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\konec(matice) \vpravo|\začátek(matice) \dolů \\ -1 \\ -1 \ \ \ konec (matice) = 240 \ cdot \ vlevo | \začátek(matice) 1 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & 24 \\\konec (matice) \right|= \\ & =240\cdot ((\left(-1 \ ) vpravo))^(1+1))\cdot \left| \začátek(matice) 1 & 6 \\ 3 & 24 \\konec (matice) \right|= \\ & =240\cdot 1\cdot \left(24-18 \right)=1440 \\end( zarovnat) \] Objednat. Úkol je u konce. ID: 1440
.
.
.
, ,
, .
Nechte її nahlédnout do svobody!
І živá loď, І reaktor rev...
- Pashi, máš potíže?
Správné umístění indexů v matici
Překrývání souřadnicového systému na matici 
Označení indexů v matici Geometrický design
Vyznachnik 2x2 - plocha rovnoběžníku 
Ještě jeden 2x2 vyznachnik 
Vyznachnik 3x3 - objem rovnoběžnostěnu
Algebraický design
Permutace a inverze
Co je předchůdce
Matrix 2x2
Significant Matrix 2x2
Matrix 3x3
Rozhodčí matice 3x3: pravidlo 3x3
Schéma pro výpočet rozhodců
Co je Matrix Minor
Vyberte $k = 2$ stovptsіv a řádky pro formování v moll
Algebraické sčítání
Další vedlejší až vedlejší $((M)_(2))$
Laplaceova věta
Uspořádání vyznachnik v řadě, že stovptsyu
Hlavní pravomoci jmenovaného