Array je kolekce konečného počtu numerických nebo symbolických prvků, které mají jedinečný název, nějakým způsobem seřazené a mající konkrétní adresy. Balíček MathCAD používá dva nejběžnější typy polí: jednorozměrné (vektory), dvourozměrné (matice).
Všechny vestavěné nástroje balíčku MathCAD určené pro práci s maticemi se shromažďují na panelu nástrojů Vector a Matrix. Matici lze nastavit buď vložením šablony požadované velikosti z panelu matice a jejím vyplněním čísly, nebo přiřazením její hodnoty každému prvku matice (obvykle se to provádí ve smyčce). Pokud má prvek pole (matice) několik indexů (pořadové číslo prvku), jsou odděleny čárkami. U prvků matice je první číslo řádku, druhé číslo sloupce. Indexování polí ve výchozím nastavení začíná na nule, ale tento proces můžete ovládat. Číslo prvního prvku je uloženo v předdefinované proměnné ORIGIN, jejíž hodnotu lze změnit. Po splnění úkolu ORIGIN: \u003d k bude MathCAD očíslovat všechna pole nalezená níže, počínaje číslem k. Jakýkoli odkaz na prvek s nižším číslem vygeneruje chybovou zprávu.
Chcete-li zadat matici (nebo vektor), musíte provést následující posloupnost operací:
Zadejte název matice a zadejte znak přiřazení. Chcete-li například nastavit matici A, napište A:. Dostaneme A: \u003d;
Pomocí příkazu Vložit -\u003e Matice… nebo kombinace kláves Ctrl + M nebo kliknutím na tlačítko na panelu Matice vyplňte pole prázdných polí pro ne příliš velká pole.
Vektory a matice lze také určit pomocí diskrétního argumentu, když existuje určitá explicitní závislost pro výpočet prvků prostřednictvím jejich indexů.
Tvorba vektoru se provádí stejným způsobem.
Je třeba si uvědomit druhou možnost vytváření matic a vektorů bez přístupu do okna pro práci s maticemi, ale prostřednictvím proměnných s indexy, například Ai, j, Bi. Rejstřík názvu proměnné se vytiskne stisknutím tlačítka Xn na panelu nástrojů matematiky nebo klávesy [(úvodní hranatá závorka).
Operace s maticemi a vektory se provádějí podle stejných pravidel jako u aritmetických výrazů.
ORIGIN: \u003d 1 definuje číslo prvního prvku
tvoří matici A
tvoří matici B
řešíme maticovou rovnici AX \u003d B
výstup řešení
šek
| A | \u003d -2 najít determinant
inverzní matice
ORIGIN: \u003d 0 definuje číslo prvního prvku
А0,0: \u003d 1 А0,1 \u003d 1 matice formuláře А
A0.0: \u003d 5 A0.1 \u003d 3
B0: \u003d 138 B1 \u003d 540 matice formy B
X: \u003d lsole (A, B) řeší maticovou rovnici AX \u003d B
X0 \u003d 63 X1 \u003d 75 výstup řešení
A0.0X0 + A0.1X1-B0 \u003d 0 kontrola
A1.0X0 + A1.1X1-B1 \u003d 0.
Výpočty s vektory a maticemi.
Operátory vektorové matice.
Pro práci s vektory a maticemi obsahuje systém MathCAD řadu operátorů a funkcí. Představme si následující zápis: pro vektory - V, pro matice - M a pro skaláry - Z.
|
Operátor |
Jmenování operátora |
|
|
Přidání dvou vektorů V1 a V2 |
||
|
Odečtení dvou vektorů V1 a V2 |
||
|
Změna znaménka prvků vektoru V |
||
|
Změna znaménka pro prvky matice M |
||
|
Odečtení skalárního Z od vektoru V. |
||
|
Násobení vektoru V skalárním Z |
||
|
Násobení dvou vektorů V1 a V2 |
||
|
Násobení matice M vektorem V |
||
|
Násobení dvou matic M1 a M2 |
||
|
Dělení vektoru V skalárním Z |
||
|
Dělení matice M skalárním Z |
||
|
Inverze matice M |
||
|
Zvyšování matice M na mocninu n |
||
|
Výpočet druhé odmocniny mV |
||
|
Výpočet determinantu matice M |
||
|
Transponujte vektor V |
||
|
Transponovat matici M |
||
|
Křížové násobení dvou vektorů V1 a V2 |
||
|
Získání komplexního konjugovaného vektoru |
||
|
Získání komplexní matice konjugátu |
||
|
Výpočet součtu prvků vektoru V |
||
|
Vektorizace vektoru V |
||
|
Vektorizace matice M |
||
|
Výběr n-tého sloupce matice M |
||
|
Výběr n-tého prvku vektoru V |
||
|
Výběr prvku (m, n) matice M |
matice řetězce filtru Excel
Pojem „vektorizace“ znamená současné provádění matematických operací v jejich skalární hodnotě na všech prvcích vektoru nebo matice označených vektorizací. Lze to také chápat jako možnost paralelního výpočtu.
Pokud jsou A a B vektory, pak A * B dává součin těchto vektorů. Stejný produkt pod znamením vektorizace však vytváří nový vektor, jehož každý j-tý prvek je produktem j-tých prvků vektorů A a B. Vektorizace umožňuje použití skalárních operátorů a funkcí s poli.
Vektorové a maticové funkce.
Existuje také řada předdefinovaných vektorových a maticových funkcí:
|
vrací délku vektoru |
|
|
vrací index posledního prvku |
|
|
vrací největší prvek |
|
|
vrací nejmenší prvek |
|
|
vrací vektor reálných částí vektoru se složitými prvky |
|
|
vrací vektor imaginárních částí vektoru se složitými prvky |
|
|
plně asymetrický tenzor dimenze tři. i, j, k musí být celá čísla mezi 0 a 2 (nebo mezi\u003e ORIGIN a ORIGIN + 2, pokud ORIGIN? 0). Výsledek je 0, pokud jsou dva argumenty stejné, 1, pokud jsou tři argumenty sudá permutace (0, 1, 2), a minus 1, pokud jsou tři argumenty permutací (0, 1, 2) násobkem 2 a násobkem 4 |
Existuje také řada integrovaných funkcí pro práci s maticemi. Jsou uvedeny níže:
|
Augment (M1, M2) |
Kombinuje se do jedné matice М1 a М2, které mají stejný počet řádků (sjednocení je „vedle sebe“) |
|
Vytvoří čtvercovou matici identity n * n |
|
|
Kombinuje se do jedné matice M1 a M2, které mají stejný počet sloupců, přičemž M1 umístí nad M2 |
|
|
submatice (A, ir, jr, ic, jc) |
Vrátí podmatici všech prvků v řádcích ir až jr a sloupcích ic až jc (irJjr a icJjc) |
|
Vytvoří diagonální matici, jejíž hlavním diagonálním prvkem je vektor V. |
|
|
Matice, ve které (i, j) ten prvek obsahuje f (i, j), kde i \u003d 0, 1, ... ma j \u003d 0, 1, ... n |
|
|
Vrátí matici skutečných částí matice M se složitými prvky |
|
|
Vrátí matici imaginárních částí matice M se složitými prvky |
Funkce, které vracejí speciální vlastnosti matic.
Speciální vlastnosti matic jsou vráceny následujícími funkcemi:
|
vrací počet sloupců matice M. |
|
|
vrací počet řádků matice M. |
|
|
vrací hodnost matice M |
|
|
vrací stopu (součet diagonálních prvků) čtvercové matice M |
|
|
vrací průměr prvků pole M. |
|
|
vrací medián prvků pole M. |
|
|
vrací číslo podmínky matice vypočítané v normě L1 |
|
|
vrací číslo podmínky matice vypočítané v normě L2 |
|
|
Vrátí číslo podmínky matice vypočítané v normě euklidovského prostoru |
|
|
Vrátí číslo podmínky matice na základě jednotné normy |
|
|
Vrátí L1, normu matice M. |
|
|
Vrátí L2, normu matice M. |
|
|
Vrátí euklidovskou normu matice M. |
|
|
Vrátí nedefinovanou normu matice M. |
Další maticové funkce.
V profesionálních verzích MathCADu je zahrnuta řada dalších funkcí matice:
|
vrací vektor obsahující vlastní čísla matice M. |
|
|
pro zadanou matici M a zadanou vlastní hodnotu Z vrátí vektor patřící k této vlastní hodnotě |
|
|
vrací matici, jejíž sloupce jsou vlastní vektory M (pořadí vlastních vektorů odpovídá pořadí vlastních čísel vrácených funkcí vlastních čísel) |
|
|
vrací vektor zobecněných vlastních čísel v odpovídající řešení rovnice M? x \u003d vi - N - x (matice M a N musí být skutečné) |
|
|
vrací matici, jejíž sloupce obsahují normalizované zobecněné vlastní vektory |
|
|
provádí trojúhelníkový rozklad matice M: P? M \u003d L? U, L a U jsou spodní a horní trojúhelníkové matice. Všechny čtyři matice jsou čtvercové, ve stejném pořadí |
|
|
udává rozklad matice A, A \u003d Q? R, kde Q je ortogonální matice a\u003e je horní trojúhelníková matice |
|
|
dává rozklad singulární hodnoty matice A o velikosti n? m: A \u003d U? S VT kde a jsou ortogonální matice o velikosti m m, respektive n n, S je diagonální matice, na jejíž úhlopříčce jsou umístěna singulární čísla matice A |
|
|
vrací vektor obsahující singulární hodnoty matice A o velikosti m n, kde mі n |
|
|
vrací inverzní matici vlevo k matici A. L A \u003d E, kde E je matice identity nn, L je n m obdélníková matice, A je m n obdélníková matice |
Funkce řazení pro vektory a matice.
Počínaje třetí verzí se v systému MathCAD objevily některé další třídicí funkce - permutace prvků vektorů a matic.
Zvažte nejjednodušší operace maticové algebry implementované v MathCAD v podobě operátorů a je třeba poznamenat, že jejich záznam se co nejvíce blíží matematické formě záznamu. Nejčastěji používané operace se nacházejí na panelu nástrojů Matice (Matrix) (obr.14), zbytek najdete pomocí nabídky Vložit → Funkce... kategorie funkcí Vektor a matice.
Postava: 14. Matice a logika panelů nástrojů
Přemístit se nazývá operace, která překládá matici dimenze M× N do dimenzionální matice N× M, vytváření sloupců původních řádků matice a sloupců řádků. Zadání znaku pro transpozici se provádí pomocí panelu nástrojů Matice(Matrix) nebo stisknutí kláves
Sčítání a odčítání... V MathCAD můžete jak přidat matice, tak je od sebe odečíst. U těchto operátorů se používají standardní znaky „+“ nebo „-“. Matice musí mít stejnou dimenzi, jinak se zobrazí chybová zpráva. Každý prvek součtu dvou matic se rovná součtu odpovídajících prvků maticových přídavků. Výsledek unární operace změny znaménka matice je ekvivalentní změně znaménka všech jejích prvků. Aby bylo možné změnit znaménko matice, stačí před ni zadat znaménko minus, jako před obyčejné číslo.
Když násobení je třeba si uvědomit, že dimenze matice M× N je přípustné množit se pouze maticí dimenze N× P (P může být cokoli). Výsledkem je matice dimenze M× P.
Chcete-li zadat symbol násobení, musíte stisknout klávesu s hvězdičkou<*> nebo použijte panel nástrojů Matice(Matrix) kliknutím na tlačítko na něm Tečkovaný produkt (Násobení). Násobení matic je ve výchozím nastavení označeno tečkou.
K získání informací o charakteristikách matic nebo vektorů jsou k dispozici následující integrované funkce:
· řádky (A) - počet řádků;
· sloupky (A) - počet sloupců;
· délka (v) - počet vektorových prvků;
· poslední (v) - index posledního prvku vektoru,
kde A je matice nebo vektor; v je vektor.
Skalární součin vektory (vektorový vnitřní produkt)
je definován jako skalár rovný součtu párových součinů odpovídajících prvků. Vektory musí mít stejnou dimenzi, tečkovaný produkt má stejnou dimenzi. Tečkový součin dvou vektorů u a proti stejně 
, kde je úhel mezi vektory. Pokud jsou vektory ortogonální, je jejich tečkový součin nulový. Tečkový součin je označen stejným symbolem jako násobení.
Vektorový produkt (křížový součin) dvou vektorů u a proti s úhlem mezi nimi se rovná vektoru s modulem 
směřující kolmo k rovině vektorů u a proti... Křížový součin je označen symbolem
Rozhodující matice jsou označeny standardním matematickým symbolem. Chcete-li zadat operátor pro nalezení determinantu matice, můžete kliknout Rozhodující (Kvalifikátor) na panelu nástrojů Matice(Matrix) nebo zadejte na klávesnici<|
\u003e (stisknutím kláves
Podle hodnosti (hodnostní) matice se nazývají největší přirozené číslo kpro které existuje nenulový determinant k- submatice -tého řádu složená z jakékoli křižovatky k sloupce a k řádky matice. Určit pořadí matice v MathCAD použitá funkce hodnost (A), kde A je matice, jejíž pořadí se nachází.
Jak víte, hledání inverzní matice je možné, pokud je matice čtvercová a její determinant není nula. Produktem původní matice podle její inverze je podle definice matice identity. Chcete-li zadat operátor hledání inverzní matice, klikněte na Inverze (Inverzní) na panelu nástrojů Matice(Matice).
Lineární algebra používá různé vektorové a maticové normy (norma), které spojují matici s nějakou skalární numerickou charakteristikou. Norma matice odráží řádovou velikost prvků matice. V různých konkrétních problémech lineární algebry se používají různé typy norem. MathCAD má čtyři vestavěné funkce pro výpočet různých norem pro čtvercové matice:
· norma1 (A) - norma v prostoru L1;
· norma2 (A) - norma v prostoru L2;
· norme (A) - euklidovská norma;
· normi (A) - max-norma nebo -norm (norma nekonečna):
kde A je čtvercová matice.
Často je nutné změnit uspořádání prvků matice nebo vektoru jejich umístěním do určitého řádku nebo sloupce ve vzestupném nebo sestupném pořadí. K tomu existuje několik předdefinovaných funkcí, které umožňují flexibilní kontrolu nad tříděním matic:
· třídit (v) - třídění vektorových prvků ve vzestupném pořadí;
· reverzní (v) - permutace vektorových prvků v opačném pořadí;
· csort (A, i) - třídění řádků matice uspořádáním prvků i-sloupce ve vzestupném pořadí;
· rsort (A, i) - třídění sloupců matice uspořádáním prvku i-tého řádku ve vzestupném pořadí, kde proti - vektor; A - matice; i je index řádku nebo sloupce.
Příklady činnosti výše uvedených operátorů jsou uvedeny na obr. 15.
K nastavení logických funkcí v MathCADu je k dispozici panel nástrojů hlavolam (Booleovský) obr. 6.13. Obsahuje tlačítka, která odrážejí vztahy (\u003d,\u003e,<, £, ³, ¹) и основные логические операции: spojení , disjunkce , negace a exkluzivní nebo (XOR). Jak víte, všechny logické funkce lze vyjádřit třemi hlavními: konjunkcí, disjunkcí a negací, což se odráží ve výpisu programu MathCAD na obr. 16. Také v MathCADu můžete interpretovat a složité logické funkce (obr. 16).
Postava: 15. Práce s maticemi v MathCADu
Postava: 16. Logické funkce v MathCADu
Ahoj znovu. Ty a já jsme dokázali docela úspěšně skončit školní algebrou, a proto můžeme přejít ke složitějším věcem - například k té větvi matematiky, která se na univerzitách obvykle nazývá lineární algebra. Tato část je samozřejmě velmi, velmi obsáhlá a není třeba ani přemýšlet o tom, jak alespoň většinu z nich obsáhnout. Myslím si však, že ty a já jsme téměř úplně schopni naučit se používat některé z nich - například se můžeme naučit pracovat s vektory a maticemi v MathCADu. Tyto dva pojmy jsou nejdůležitějšími matematickými abstrakcemi, jejichž role ve vědeckém a technickém pokroku lze jen těžko přeceňovat. Nakonec to bylo použití vektorů a vektorové analýzy, které Oliveru Heavisideovi najednou umožnily snížit počet Maxwellových rovnic popisujících elektromagnetické pole, ze dvou desítek na pouhé čtyři. Před vektorovou analýzou si myslím, že se tam dostaneme včas, ale prozatím se budeme zabývat prozaičtějšími věcmi. Které přesně? Myslím, že vše bude jasné, pokud budete pokračovat ve čtení tohoto článku.
Trochu o prvcích matice
Ačkoli se v následujícím budeme zabývat vektory a maticemi, pro stručnost řeknu jen „matici“, což znamená, že vektorem rozumíme speciální případ matice, konkrétně její druh, kterým je jeden sloupec. Pokud je vektorem řetězec, bude to zvlášť specifikováno. Myslím si však, že na to těžko přijde. Obecně řečeno, s maticemi už trochu dokážeme pracovat. Není to tak, že je správné takto pracovat - alespoň jsme je již zavedli do MathCADu. Přesto si myslím, že nebude nadbytečné připomínat, že do pracovního prostoru můžete zadat matici pomocí tlačítka Matrix nebo Vector umístěného na panelu Matrix nebo pomocí kombinace klávesových zkratek Ctrl + M. Dosud jsme se však nedotkli jednoho malého, ale nesmírně důležitého bodu, totiž toho, jak při výpočtech adresovat ne celou matici, ale její jednotlivé prvky. To je ve skutečnosti velmi jednoduché. Předpokládejme, že máme čtvercovou matici X dva ku dvěma. Prvek vlevo nahoře bude na indexech 0,0; vpravo dole budou mít indexy 1,1. To znamená, jak vidíte, že prvky matice jsou očíslovány od nuly. To je obecně docela výhodné, ale pokud jste zvyklí číslovat je od jednoho, nebo řekněme od 1024, můžete změnit hodnotu vestavěné proměnné ORIGIN zadáním MatchCAD v řetězci na samém začátku dokumentu (bez uvozovek) ... Nebo „ORIGIN: \u003d 1024“. Hodnotu proměnné můžete změnit také v okně možností MathCADu výběrem položky Možnosti listu z nabídky Nástroje a změnou hodnoty proměnné ORIGIN na požadovanou na kartě Předdefinované proměnné.
Takže zpět k našim maticovým prvkům. Chcete-li z něj „vyjmout“ první prvek, musíte napsat následující: X0, 0. Chcete-li zapsat indexy na konec názvu proměnné, která označuje matici, můžete použít tlačítko Dolní index ze stejného panelu nástrojů pro maticové a vektorové výpočty nebo z klávesnice přejděte na dolní index pomocí klávesy „[“ (rusky „x“). K oddělení indexů řádků a sloupců se používá čárka. Maticové prvky lze nejen extrahovat z matice uvedené v tabulce. Během výpočtu můžete určit několik prvků s odpovídajícími indexy a poté z nich MathCAD vytvoří samostatně matici (ale pouze pokud jste již zadali všechny jeho prvky, jinak nedefinovaným prvkům budou přiřazeny nulové hodnoty). K definování prvků matice můžete použít seřazené proměnné. Občas je to nejen pohodlné, ale také velmi výhodné. Například můžete nastavit následující vzorec pro matici X, který popisuje hodnoty každého z jejích prvků v i-tom řádku a j-tém sloupci: Xi, j: \u003d i * j. Před takovou definicí prvků matice zbývá pouze určit rozsah, ve kterém se i a j změní. Například jsem vzal hodnoty i: \u003d 0..5 a j: \u003d 0..5, ale samozřejmě můžete nastavit jakýkoli jiný rozsah, který potřebujete, v závislosti na požadavcích vašeho problému vyřešeného pomocí matic v prostředí MathCAD.
Maticové operace
Samozřejmě existuje mnoho zajímavých a nepříliš zajímavých aspektů používání matic ve skutečných problémech, ale dříve nebo později všechny narazí na potřebu provádět jednoduché algebraické operace s maticemi. Jejich ruční provedení je náročný úkol a přesunem rutinní práce do MathCADu můžete trávit čas mnohem větší výhodou. Nejprve se seznámíme s těmi funkcemi, které ve skutečnosti neprovádějí žádné matematické operace, ale zároveň jsou v operacích s maticemi velmi důležité. Tyto funkce umožňují kombinovat dvě matice do jedné (nepřidávat matice, ale jednoduše kombinovat jejich prvky) a vybrat jinou matici z matice. První z funkcí je augment. Kombinuje dvě matice, které mají stejný počet řádků, a to tak, že je vytvořena jedna z nich, ve které jsou prvky těchto dvou umístěny, jak se říká, „rameno na rameno“. Tato funkce potřebuje pouze dvě sloučitelné matice jako argumenty. Jeho protějškem pro ty matice, které mají stejný počet sloupců a musí být kombinovány jeden nad druhým, je funkce zásobníku. Jeho argumenty musí být také dvě sloučené matice. Funkce, která se nespojuje, ale naopak „ořezává“ matice, se nazývá submatice. K tomu musíte zadat název matice, ze které chceme vybrat submatici, a souřadnice prvků nové matice ve staré matici. To znamená, aby bylo možné vyříznout matici 4x4 z levých horních prvků matice 5x5, musíme tuto funkci zavolat s následujícími parametry: submatrix (Y, 0, 4, 0, 4). Zde Y je samozřejmě název matice 5x5. Ukázku použití všech těchto funkcí ve vztahu ke konkrétním maticím lze vidět na odpovídající ilustraci k článku.
Nyní si myslím, že je na čase přejít k aritmetickým operacím na maticích. Uvidíte, že jejich použití v MathCADu od vás nevyžaduje žádné speciální znalosti lineární algebry - kromě samozřejmě obecné představy o tom, jak fungují maticové operace, aby pochopili, na co by mohli skončit. MathCAD je pro uživatele dobrý v tom, že mu umožňuje pracovat s vektory a maticemi stejně jako s obyčejnými skaláry, tedy s proměnnými obsahujícími pouze a výhradně reálná čísla. Pokuste se definovat dvě matice (nazval jsem je aa a bb) a poté na ně aplikujte operaci přidání stejným způsobem, jako jste ji jednou použili na běžná čísla. Aby se matice stohovaly, musí mít samozřejmě stejné rozměry. Podobně můžete zkusit odečíst další z jedné matice nebo je vynásobit. Uvidíte, že MathCAD se s takovými úkoly úspěšně vyrovná, aniž by uživatele obtěžoval zbytečnými výpočty.
Transponování matic v MathCADu není o nic obtížnější než jejich přidání nebo násobení. Vypočítejte však také inverzní matice. Ve všech těchto úkolech vám pomohou odpovídající operátoři, kteří jsou na něm označeni stejnými ikonami jako v učebnicích lineární algebry, a proto by pro uživatele, který je alespoň minimálně obeznámen s maticovým počtem, mělo být vše jednoduché a jasné. Musíte si jen pamatovat, že nemůžete vypočítat inverzní matici pro matici, která je zdegenerovaná (tj. Má nulové nebo proporcionální řádky nebo sloupce). Abych se zbytečně nezabýval těmito jednoduchými operacemi, uvedu pouze ilustraci demonstrující jejich praktické využití. Myslím, že čtenáři nebudou mít žádné problémy ani s transpozicí, ani s výpočtem inverzní matice pomocí MathCADu.
Další často prováděnou operací je výpočet determinantu nebo determinantu matice. Nemyslím si, že vás vůbec rozladím zprávou, že práce s determinanty v MathCADu je stejně snadná jako se vším ostatním souvisejícím s maticemi. Tlačítko Determinant je zodpovědné za jeho výpočet, nachází se samozřejmě na panelu Matrix. Vzhledem k tomu, že determinant v MathCADu, stejně jako v lineární algebře obecně, je označen pomocí symbolů přímek, které omezují matici (nebo název proměnné, která ji označuje), je zcela logické, že tyto velmi rovné čáry můžete vložit do textu výrazu pomocí odpovídající klávesy na klávesnici: Shift + \\. Myslím, že tato jednoduchá kombinace bude stále pohodlnější, než pokaždé hledat potřebné tlačítko na panelu nástrojů MathCAD.
Vzhled matice
Samozřejmě jsme daleko od dokončení seznámení s maticemi v MathCADu, myslím si však, že pro dnešek stačí přímá matematika. Na konci článku si promluvím o tom, jak můžete změnit způsob zobrazení matic v prostředí MathCADu - možná některým čtenářům tohoto článku budou tyto informace užitečné a zajímavé.
Faktem je, že MathCAD může zobrazovat matice nejen v obvyklé formě čísel uzavřených v závorkách, ale také ve formě tabulek. Pokud použijete tento matematický balíček pro jakékoli statistické výpočty a zároveň pracujete s velkými datovými sadami, pak bude pro vás takové maticové zobrazení samozřejmě výhodnější než tradiční. Chcete-li změnit způsob zobrazení matic, poklepejte na požadovanou matici a v zobrazeném okně přejděte na kartu Možnosti zobrazení. Dále v poli stylu zobrazení Matrix vyberte hodnotu tabulky. Matice bude vypadat přesně stejně jako na odpovídající ilustraci tohoto článku.
Vzhled tabulky lze také konfigurovat dalším kliknutím pravým tlačítkem na ni a výběrem Vlastnosti. V okně, které se zobrazí, můžete zrušením zaškrtnutí položky Zobrazit popisky sloupců / řádků skrýt zobrazení čísel řádků a sloupců v matici, které jsou znázorněny jako tabulka. Na kartě Rozsah dat můžete vybrat rozsah zobrazených řádků a sloupců matice, což je také užitečné pro matice, které obsahují velké množství prvků.
No, myslím, že to pro dnešek stačí. Toto je jen začátek práce s maticemi - příště si povíme o mnohem zajímavějších věcech, než jen o přidání, transpozici a výpočtu determinantu.
Zvažte několik dalších extrémně důležitých akcí lineární algebry souvisejících s konceptem maticového determinantu. Navzdory skutečnosti, že některé z nich jsou také implementovány v Mathcadu ve formě operátorů, vyžadují (při provádění výpočtů pomocí numerických algoritmů) neporovnatelně více pozornosti než operátory uvedené ve dvou předchozích částech.
Určující ( Rozhodující) matice je označeno standardním matematickým symbolem. Chcete-li zadat operátor pro nalezení determinantu matice, můžete kliknout Rozhodující (Kvalifikátor) na panelu nástrojů Matice (Matrix) (Výpis 7.14) nebo zadejte na klávesnici | (stisknutí kláves SHIFT + \\). Výsledkem kterékoli z těchto akcí je zástupný symbol, do kterého bude umístěna matice. Výpočet determinantu již zadané matice:
- Přesuňte kurzor v dokumentu takovým způsobem, abyste umístili matici mezi vstupní řádky (připomeňme, že vstupní řádky jsou svislé a vodorovné modré čáry, které tvoří roh označující aktuální oblast úprav).
- Zadejte operátor a vyhledejte determinant matice.
- Zadejte znaménko rovnosti (nebo symbolický výstup) pro výpočet determinantu (numericky nebo analyticky, jak je uvedeno v seznamu 7.14).
Pozornost!
Nezaměňujte operátory pro výpočet determinantu čtvercové matice a délky vektoru. Matncad 12 zavádí vynucenou kontrolu akcí uživatelů při zadávání těchto operátorů, aby nedocházelo k nejasnostem (protože pro tyto dvě operace je použit stejný znak). Při pokusu o výpočet determinantu matice pomocí operátoru | A |vstoupil z panelu Kalkulačka (Kalkulačka), ne Matice (Matrix), zobrazí se chybová zpráva a výsledek výpočtu determinantu se zobrazí až poté, co uživatel vyvolá kontextové menu a potvrdí v něm, že bude počítat determinant matice. Totéž platí pro délku vektoru, pokud se jej pokusíte zadat nikoli z panelu Kalkulačka (Kalkulačka) a z panelu Matice (Matice).
Možná jste na tyto koncepty narazili při práci v Excelu - sloupec čísel se nazývá vektor sloupce, řádek je vektor řádku. Blok objektů je matice. Výpočty v aplikaci Excel jsou v podstatě vektorové a maticové operace. V této lekci se seznámíme s podobnými výpočty v Mathcadu a pochopíme, proč jsou v Mathcadu snadnější.
Úvod
V předchozích tutoriálech začaly naše vektory na čísle prvku „0“. V tomto tutoriálu si pro jednoduchost vytvoříme první číslo prvku „1“. To lze provést pomocí karty Výpočet -\u003e Parametry dokumentu -\u003e PŮVOD:
Tuto hodnotu lze vytisknout přímo do dokumentu, abyste na ni nezapomněli a nebyli zmateni:
Nyní se podívejme na několik matic:
Jak vidíte, mohou zahrnovat čísla, symboly a dokonce i funkce. Mohou také obsahovat textové prvky (řetězce).
Maticový prvek lze zobrazit pomocí dolních indexů:
Výše uvedené matice jsou čtverce 2x2, ale mohou mít libovolnou velikost v řádcích a sloupcích:
Pamatujte: první číslo je číslo řádku (nebo jejich počet), druhé je sloupec.
Přihlášené položky:
Pro vektor sloupce lze druhý index vynechat, ale ne pro vektor řádku:
Na kartě Matematika -\u003e Operátoři a symboly -\u003e Operátoři -\u003e Vektory a matice najdete příkazy pro zvýraznění sloupců a řádků:
Mnoho operací pro vektory a matice je podobných operacím s běžnými čísly, proměnnými a funkcemi: sčítání, odčítání, některé typy násobení. Nalezení inverzní matice se blíží dělení. Tyto operátory můžete psát pomocí názvů vektorů a matic. Jako příklad zvažte křížový produkt matice a vektoru:
Na tuto operaci se podíváme podrobněji později. Všimněte si však, že vyžaduje devět násobení a devět přidání. Jejich psaní je zdlouhavé a náchylné k chybám - pro velké matice je to velmi obtížné.
Použití vektorů je velmi široké. Myslete na pixely na obrazovce monitoru - mohou jich být miliony. Jsou zpracovávány pomocí maticových operací.
VMathcad
Chcete-li vytvořit vektor nebo matici, otevřete kartu Matice / tabulky. Když je kurzor v prázdné oblasti, klikněte na tlačítko „Vložit matici“ úplně vlevo. Zobrazí se mřížka s malými čtverci:
Přesuňte ukazatel nad mřížku, vyberte požadovanou velikost matice a klikněte levým tlačítkem. Zobrazí se prázdná matice:
Matici lze pojmenovat kliknutím na levou závorku, stisknutím [:] pro operátora přiřazení a zadáním názvu:
Vkládání a mazání řádků a sloupců je snadné pomocí příkazů z nabídky Operátoři vektoru / matice na kartě Matice a tabulky:
Maticové operace
Vliv různých operací na matice a vektory bude snáze pochopitelný pomocí symbolů. Použijeme dvě matice a dva vektory:
Přemístit
Operátor transpozice je umístěn na kartě Matematika -\u003e Operátoři -\u003e Vektory a matice:
Klikněte na pravý okraj matice a použijte operátor. Funguje pro znakovou i číselnou matici:
Operace po položkách
Operace ve vektorech se často musí provádět prvek po prvku. K tomu se používá vektorizační operátor. Operace v aplikaci Excel jsou často elementární a jsou také důležité v Mathcadu. Chcete-li vynásobit dva vektory prvek po prvku, nejprve zadejte jednoduchou násobení:
Poté vyberte celý výraz a použijte vektorizaci:
Vypočítejte, abyste viděli výsledek: první prvek se vynásobí prvním, druhý druhým, atd.:
Další elementární operace:
Prvekové operace se vztahují pouze na pole stejné velikosti.
Sčítání a odčítání
Sčítání a odčítání se provádí prvek po prvku:
Tato operace se vztahuje pouze na pole stejné velikosti.
Pomocí operátoru součtu můžete najít součet všech prvků vektoru (nikoli matice):
Skalární součin
Násobení konstantou funguje takto:
Násobení skalární matice zahrnuje násobení řádků po sloupcích. Toto používá stejný symbol jako pro normální násobení. Tato operace je platná pouze pro ty matice, ve kterých je počet řádků v první matici stejný jako počet sloupců ve druhé. Pro naše matice 2x2:
Řada faktorů hraje roli:
Tečkový produkt není komutativní, s výjimkou zvláštních případů:
Skalární součin dvou vektorů dává výsledek se složitými konjugovanými čísly (s pruhem výše). U reálných čísel to můžete ignorovat:
Vektorový produkt
Tento operátor je použitelný pouze pro dva sloupcové vektory se třemi prvky:
Vektorový produkt je široce používán v mechanice, hydrodynamice, elektromagnetismu a dalších polích.
inverzní matice
Inverzní matice je definována pouze pro čtvercové matice.