Основні відмінності страхування життя та страхування іншого, ніж страхування життя (не-життя).
1. За страхування життя компанія виплачує зазвичай раз (крім поточних видів договорів), у ризикових видах страхування виплати зазвичай можуть здійснюватися неодноразово.
2. У страхуванні життя розмір виплат визначається умовами договору, і страховик наперед знає величину втрат у разі настання страхового випадку. У ризикових видах страхування розмір збитків є випадковою величиною.
3. Статистична оцінка завдань набагато складніше у страхуванні іншому, ніж страхування життя.
4. Ризики договору страхування нежиття на відміну страхування життя, мають зазвичай довгостроковий характер, укладаються зазвичай на рік.
5. Страхувальник укладає договір ризикового страхування, значно складніше розділити на апріорні однорідні, ніж у договорі страхування життя, де класифікація здійснюється за статтю, віком та складом договору страхування.
6. Премії у страхуванні життя можна розділити на ризикову і накопичувальну компоненту, що створює можливість інвестування коштів, тоді як ризикові види страхування мають прибутковість у значно меншому масштабі і лише за рахунок розриву за часом збору премій і виплат за збитками.
2. Страхування життя – що таке, особливості, цілі.
Страхування життя – надання страховиком в обмін на сплату страхових премій гарантій виплатити певну суму грошей (страх-у суму) страхувальнику або вказаною ним третьою особою у разі настання певних подій у житті застрахованого: хвороби, інвалідності, смерті або його доживання до певного віку.
Бенефіціар (ий) -вигодонабувач - особа, якій призначений грошовий платіж; особа, яка не є страхувальником, але має право на отримання страхових виплат у разі смерті власника страхового полюса.
особливості:
Об'єкт страхового захисту – життя – не має вартості.
Змінює свій зміст ознака надзвичайності, що вирізняє категорію страхування. Якщо така подія, як настання смерті, зберігає надзвичайний характер, то факт дожити застрахованого до закінчення строку страхування або обумовленої події не можна віднести до надзвичайної події.
Договір страхування життя є довгостроковим (не менше 1 року), тому поєднує в собі не лише ризикову, а й функцію, що зберігає.
Майнового характеру
1) Захист сім'ї при втраті годувальника
2) Забезпечення у разі втрати працездатності
3) Забезпечення пенсії на старості
4) Накопичення коштів дітям при досягненні повноліття
5) Оплата ритуальних послуг
Фінансового характеру
1) Накопичувальні, пов'язані з інвестуванням
2) Захист приватного капіталу у разі смерті партнера з бізнесу чи керівництва
3) Захист спадщини
Побудова таблиць смертності. Основні поняття та показники.
Таблиця смертності (тривалості смерті) - систематизований набір статистичних даних про тривалість життя населення цієї країни або виділеної групи.
Виділяють групи за:
регіону
Професії
У повних табл-ах смертності показники дано за віком з інтервалом на 1 рік. У коротких з інтервалом 5-10 років.
l x – число тих, хто дожив до віку х років
d x – число померлих у віці років.
q x – ймовірність померти у віці x років.
p x - ймовірність особи у віці х років прожити ще 1 рік.
n p x - ймовірність особи у віці х років прожити ще n років
n q x - ймовірність особи у віці х років померти протягом n років
n / m q x - ймовірність для особи у віці х років померти в проміжки чоловіка (x + m) і (x + m + n) роками.
4. Функція дожиття – безумовна та умовна. Її зв'язок з іншими демографічними функціями.
Безумовна ймовірність:
Якщо через T x позначити залишкову тривалість життя навмання обраної особи віку x, тобто. час, який ця особа ще проживе, досягнувши віку х, то число
S х (t) = P (Т х ≥ t)
Позначатиме умовну ймовірність
t p x = Pr (Т ≥ х+t/ Т ≥ х)
досягнення віку x+t для особи, яка досягла до х років. Звідки випливає, що
5. Функція розподілу тривалості майбутнього життя та її зв'язок із функцією дожития.
Функція доживання – безперервна функція віку S(x), що означає частку осіб, що дожили до віку Х.
S(x) – можливість для навмання обраної особи з цієї сукупності народжених дожити до віку x.
T – Тривалість життя для такої особи.
Доповнення функції дожити до 1, тобто функція
F(x) =P(Т< х)=1-S(x)
Називається функцією розподілу тривалості життя, тобто ймовірність того, що дана особа, що народилася, не доживе до віку х.
6. Інтенсивність смертності та її зв'язок із функцією дожития.
Частка осіб, які вмирають у од. часу у проміжку [ x,x+1] – середня швидкість вимирання осіб, які досягли віку х
Інтенсивність (сила) смертності (force of mortality)
Функція дожити через інтенсивність смертності:
Умовна функція дожити через інтенсивність смерті.
Таблиця смертності є набір стовпців, які відповідають різним демографічним показникам. Елементи цих стовпців упорядковані за віком. Першим у таблиці смертності зазвичай наводиться кількість людей, які доживають до віку x:
Це число відноситься до фіксованого числа народжених, що позначається і називається коренем таблиці смертності. Звичайні значення для: 1 млн., 10 або 100 тис., але може бути і довільним. Таким чином, якщо 
- кількість народжених, то 
означає, що лише 98 729 з них доживуть до свого першого дня народження, а число 
означає, що лише 98 645 доживуть до свого другого дня народження і так далі
Таблиці смертності закінчуються рядком, що відповідає граничному віці.
У різних таблицях цей вік може бути різним. Найчастіше це 90, 100, 110 років.
Зазначимо, що внаслідок відмінності у середній тривалості життя для чоловіків та жінок відповідні показники для них у таблицях зазвичай даються окремо (додаток А).
Також важливою характеристикою є , яка представляє кількість померлих протягом одного року після досягнення ними віку. x.
Очевидно:
,
оскільки серед досягли віку, кожен з них або досягне віку x+1 або помре протягом одного року. Ця формула може бути переписана
(1)
Сенс формули (1) полягає в тому, що кількість померлих у віці xє різниця між кількістю тих, хто дожив до віку xі числом тих, хто дожив до віку x+1.
Наведені співвідношення стосувалися двох суміжних вікових груп. Розглянемо зв'язок між ними більш тривалих періодів.
Зрозуміло, що
і
Загальним чином можна записати
Формула (2) у граничному випадку дає рівність
яке означає, що кожен з тих, хто досяг віку xроків, помре у віці від xдо граничного. Формули (2) і (3) можна перепишемо у скороченій формі:
і 
Також дуже важливим показником таблиці смертності є величина , яка означає частку померлих протягом року серед досягли віку x, тобто в проміжку між xі x+ 1. Тоді
Число розглянемо як можливість померти протягом року для людини віку x. Точніше число (з таблиці смертності) є статистичною оцінкою цієї ймовірності. Доповнення до 1, тобто число
,
означає частку тих, що доживуть до віку x+1. Ця величина є ймовірністю прожити ще рік після досягнення віку x.
, (4)
, тобто 
(5)
Формули (5), (4) можна переписати у вигляді
або 
.
Аналогічно
або 
Розглянемо показники більш тривалих періодів.
є можливість прожити ще nроків для особи, яка досягла віку x.
Відповідно число 
- Можливість померти у віці x+nроків.
Для ймовірностей виконується:
Для ймовірності:
або 
І наостанок
означатиме ймовірність для особи віку x, померти в проміжку між x+mі x+m+n .
Очевидно, що
Нехай – кількість осіб із групи Nлюдина віку x, які загинуть протягом року
або 
(6)
Формула (6) показує емпіричну оцінку. Для досить великої групи людей (тобто якщо Nвелика) рівність (6) виконуватиметься з більшим ступенем ймовірності (закон великих чисел), тому число 
можна вважати гарною оцінкою для очікуваного числа тих, хто досяг віку xхто помре протягом року. Аналогічно кількість 
є очікувана кількість осіб із сукупності Nдосягли віку x, які помруть протягом nроків, а число 
є очікуване число тих з Nосіб, що доживуть до віку x+n.
Існує безліч методів побудови таблиць смертності. Основна відмінність цих методів полягає у виборі базового показника, на підставі якого обчислюються всі інші. Найчастіше як базовий показник береться , тобто ймовірність смерті протягом року після досягнення віку x. Цей показник оцінюється виходячи з наявних статистичних даних. Це далеко не тривіальне завдання, і про деякі пов'язані з нею труднощі буде сказано нижче. Оцінивши, можна отримати всі інші показники.
Задавшись певним початковим віком та відповідним значенням кореня таблиці, послідовно обчислюють
(7)
(8)
для x = a, a+1, … w.
Якщо ж вихідними є не ймовірності смерті, а ймовірності дожити, то ряд значень можна отримати за формулами
, 
, для 
.
Можна, звичайно, спочатку обчислити за формулою
,
а потім застосувати формули (7) та (8).
Обчислені значення округляються, зазвичай, до найближчого цілого числа. Для досягнення необхідної точності як корінь таблиці беруть досить велике число (10 тис., 100 тис. і так далі).
Таблиці, що будуються на підставі перепису, як правило, повні та охоплюють весь діапазон вікових груп, починаючи з 0. Таблиці, засновані на спеціальному статистичному обліку, наприклад, у страхових компаніях, пенсійних фондах, можуть мати й інші значення початкового віку.
Іноді, особливо при побудові спеціальних таблиць, корінь таблиці міститься в "середину", тобто значення і належать до "проміжних". І тут процес обчислення йде у двох напрямах: до молодшим і старшим віком. При цьому значення і для старшого віку виходять за формулами, наведеними вище, а для молодшого віку застосовуються формули
, (9)
, (10)
якщо вихідний показник. Якщо ж як вихідний взятий , то, отримавши спочатку
застосовують формули (9) та (10).
Таким чином, центральним моментом при побудові таблиць смертності на основі показників є отримання їх оцінки на підставі статистичних даних. При використанні прямого методу ця оцінка будується безпосередньо на визначенні цих ймовірностей, наприклад, за формулою:
.
Застосування такого методу у житті наштовхує деякі труднощі. Справа в тому, що так звана сукупність (когорта) осіб повинна народитися в один і той же час, тому реальне спостереження за такою групою осіб та побудова таблиці на основі цього спостереження є скрутним, а то й неможливим. Тобто таблиця смертності має повністю відбивати процес вимирання будь-якого покоління людей. У демографії такий метод отримав назву когортного.
Когортний метод є не тільки важким для застосування, але й спотвореним внаслідок міграцій, зміни народжуваності та смертності через умови навколишнього середовища, а також інші демографічні чи екологічні події.
Тому на практиці статистичні дані та одержувані на їх основі оцінки відносяться як сукупності ровесників, а до сукупності сучасників, що включає особи різного віку. Оскільки у населенні у будь-який момент є особи будь-якого віку, то можна отримати показники для повного діапазону віку (від 0 до граничного). При цьому отримані дані інтерпретуються так, ніби вони ставилися до деякого покоління. Таке покоління називається у демографії умовним чи гіпотетичним, а заснований на описаній вище інтерпретації метод вивчення демографічних процесів називають поперечним аналізом.
При побудові таблиць смертності з урахуванням ймовірностей оцінку цих величин можна одержати шляхом перетворення вікових коефіцієнтів смертностей. Ці коефіцієнти виходять з урахуванням статистичних даних. Таким чином, дані поперечного аналізу ґрунтуються на реальному поколінні. Коректність такого перенесення залежить від низки умов, що належать до стану та динаміці демографічних процесів. Зазвичай ці умови формулюються як відповідних гіпотез, виконуються насправді лише частково.
Як побудувати таблицю смертності: інструкція ...
Спочатку введемо позначення, які потім використовуватимемо у формулах:
- Число померлих у віціх... х р р де р у _, - ймовірність залишитися живими на інтервалі віку (х - 1, х) років (див. нижче). Інакше кажучи, числа доживаючих/рівні ймовірності того, що кожна одиниця вихідної сукупності/0 доживе до точного віку х років. Сукупність всіх / називається порядком вимирання,а лінійна діаграма, побудована на основі цих чисел, - лінією дожиття.
Спробуйте самостійно довести це твердження.
Функції таблиць смертності
Таблиця 8.6
|
Інтервал віку (x, x + n)років |
доживаючих до точного віку |
Імовірність померти на інтервалі віку (х, х + л) років, |
Імовірність залишитися в інтервалі віку (х, х + д)років, |
вмираючих на інтервалі віку (х, х + л) років, |
Частка останнього року життя для вмираючих на інтервалі віку (х, х + д)років, |
Числа, що живуть на інтервалі віку (х, х + л) років, |
людино- років, прожитих після досягнення точного віку |
очікувана продовжуй ність майбутнього життя у віці |
|
1хх А |
||||||||
Частка останнього року життя для вмираючих на інтервалі віку (x, х + д)років, (Пах)розраховується залежно від особливостей розподілу смертності цьому віковому інтервалі. У таблиці наведено значення цього параметра, взяті з роботи американського демографа Чінлонг Чаня. Chin Long Chiang. The Life Table and Its Construction // Introduction to Stochastic Processes in Biostatistics. N.Y., 1968. P. 189-214).
випадків смерті всередині вікового інтервалу (х, х + 1) років. У наймолодших віках цей розподіл має лівосторонню асиметрію (тобто зрушено на початок вікового інтервалу), і тому величина а хменше] / 2 , чому вона дорівнювала б у разі рівномірного розподілу і чому вона конвенційно дорівнює для віку старше 4 років. Цей показник відіграє важливу роль у сучасних модифікаціях демографічного методу побудови таблиць смертності,який буде розглянуто нижче.
Графа 7. Загальна кількість людино-років, прожитих у віковому інтервалі (х, х+ 1) років, Ьх.Усі ті, хто проживе повний віковий інтервал (х, х + 1) років, вносить у загальну кількість прожитих людино-років ( 1х - (1х)років. Кожен з тих, хто помре на цьому інтервалі віку, вносить в! х у середньому x частина цього інтервалу. Звідси: Ь х = (I - б) + а" х = 0, 1, 2, ..., з - 1). У повних таблицях смертності у віках 5 років і старше величина конвенційно приймається рівною х/2і, тому, для цього віку
К = 'х-°. 5 Ц = - + 2 + " "
Графа 8. Число людино-років, яке має прожити після досягнення точного віку х років, Т.Цей кумулятивний показник дорівнює сумі людино-років, прожитих на кожному віковому.
інтервалі, починаючи з віку х років, або Т х =2 ^Ь Х.
- Графа 9. Середня очікувана тривалість майбутнього життя у віці років е х. Це число показує, скільки в середньому доведеться прожити людині, яка досягла віку х років. Оскільки всім, хто дожив до цього віку (їх число одно
- 1) належить прожити Троків, остільки е хроків. Оскільки далі, як було показано вище, кожен, хто вмирає на інтервалі віку (х+1) рік, проживає в середньому айого частина, оскільки середній вік смерті на цьому інтервалі дорівнює (х х е г + а").Звідси-
- (0-1 | у 7
так = I х х д х + а х.кожне е х =- підсумовує смертність у віці про До
старше х років, що робить цю графу найважливішою у таблиці смертності. Більше того, це одна з трьох функцій таблиці смертності (поряд із ц хі ах), яка має сенс безвідносно до кореня таблиці. Як правило, е хспадаєте віком. Єдиний виняток є віком 0 років, коли е 0 через високу дитячу смертність. Це називається парадоксом дитячої смертності.У високорозвинених країнах із дуже низькими значеннями дитячої смертності цей парадокс відсутній.