Hlavní integrály, které by měl každý student znát

Uvedené integrály jsou základem, základem základů. Tyto vzorce určitě stojí za zapamatování. Při výpočtu složitějších integrálů je budete muset neustále používat.

Zvláštní pozornost věnujte vzorcům (5), (7), (9), (12), (13), (17) a (19). Při integraci nezapomeňte přidat ke své odpovědi libovolnou konstantu C!

Integrace konstanty

∫ A d x \u003d A x + C (1)

Integrace výkonových funkcí

Ve skutečnosti bylo možné omezit se pouze na vzorce (5) a (7), ale se zbytkem integrálů z této skupiny se setkáváme tak často, že stojí za to jim věnovat malou pozornost.

∫ x d x \u003d x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x \u003d x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x \u003d 2 x + C (4)
∫ 1 x d x \u003d ln | x | + C (5)
∫ 1 x 2 d x \u003d - 1 x + C (6)
∫ x n d x \u003d x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1) (7)

Integrály exponenciálních funkcí a hyperbolických funkcí

Vzorec (8) (možná nejvhodnější pro zapamatování) lze samozřejmě považovat za zvláštní případ vzorce (9). Vzorce (10) a (11) pro integrály hyperbolického sinu a hyperbolického kosinu jsou snadno odvozeny ze vzorce (8), ale je lepší si tyto vztahy jednoduše zapamatovat.

∫ e x d x \u003d e x + C (8)
∫ a x d x \u003d a x ln a + C (a\u003e 0, a ≠ 1) (9)
H s h x d x \u003d c h x + C (10)
∫ c h x d x \u003d s h x + C (11)

Základní integrály trigonometrických funkcí

Chyba, kterou se studenti často dopouštějí: zaměňují znaky ve vzorcích (12) a (13). Pamatujeme si, že derivace sinu se rovná kosinu, mnozí z nějakého důvodu věří, že integrál funkce sinx se rovná cosxu. To není pravda! Integrál sinusu se rovná „minus kosinus“, ale integrál kosxu se rovná „just sinus“:

∫ sin x d x \u003d - cos x + C (12)
∫ cos x d x \u003d sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x \u003d t g x + C (14)
Sin 1 hřích 2 x d x \u003d - c t g x + C (15)

Integrály redukující na inverzní trigonometrické funkce

Vzorec (16), který vede k arkustangensu, je přirozeně zvláštním případem vzorce (17) s a \u003d 1. Podobně (18) je zvláštní případ (19).

∫ 1 1 + x 2 d x \u003d a r c t g x + C \u003d - a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 \u003d 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 - x 2 d x \u003d arcsin x + C \u003d - arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 - x 2 d x \u003d arcsin x a + C \u003d - arccos x a + C (a\u003e 0) (19)

Složitější integrály

Je také žádoucí si tyto vzorce zapamatovat. Používají se také poměrně často a jejich výstup je zdlouhavý.

∫ 1 x 2 + a 2 d x \u003d ln | x + x 2 + a 2 | + C (20)
∫ 1 x 2 - a 2 d x \u003d ln | x + x 2 - a 2 | + C (21)
∫ a 2 - x 2 d x \u003d x 2 a 2 - x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a\u003e 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x \u003d x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a\u003e 0) (23)
∫ x 2 - a 2 d x \u003d x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | x + x 2 - a 2 | + C (a\u003e 0) (24)

Obecná pravidla integrace

1) Integrál součtu dvou funkcí se rovná součtu odpovídajících integrálů: ∫ (f (x) + g (x)) d x \u003d ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Integrál rozdílu dvou funkcí se rovná rozdílu odpovídajících integrálů: ∫ (f (x) - g (x)) d x \u003d ∫ f (x) d x - ∫ g (x) d x (26)

3) Konstantu lze vzít mimo integrální znaménko: ∫ C f (x) d x \u003d C ∫ f (x) d x (27)

Je snadné vidět, že vlastnost (26) je jednoduše kombinací vlastností (25) a (27).

4) Integrál složené funkce, pokud je vnitřní funkce lineární: ∫ f (A x + B) d x \u003d 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Zde F (x) je primitivní funkce f (x). Poznámka: tento vzorec je vhodný pouze v případě, že vnitřní funkce je Ax + B.

Důležité: neexistuje žádný univerzální vzorec pro integrál součinu dvou funkcí, stejně jako pro integrál zlomku:

∫ f (x) g (x) d x \u003d? ∫ f (x) g (x) d x \u003d? (třicet)

To samozřejmě neznamená, že frakci nebo produkt nelze integrovat. Je to tak, že pokaždé, když uvidíte integrál jako (30), musíte vymyslet způsob, jak se s ním „vypořádat“. V některých případech vám pomůže integrace po částech, někde budete muset proměnnou změnit a někdy vám mohou pomoci i „školní“ vzorce algebry nebo trigonometrie.

Jednoduchý příklad pro výpočet neurčitého integrálu

Příklad 1. Najděte integrál: ∫ (3 x 2 + 2 sin x - 7 e x + 12) d x

Používáme vzorce (25) a (26) (integrál součtu nebo rozdílu funkcí se rovná součtu nebo rozdílu odpovídajících integrálů. Získáme: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x - ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Připomeňme, že konstantu lze vzít mimo integrální znaménko (vzorec (27)). Výraz se převede do formuláře

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x - 7 ∫ e \u200b\u200bx d x + 12 ∫ 1 d x

Nyní použijeme tabulku základních integrálů. Musíme použít vzorce (3), (12), (8) a (1). Integrujme mocninnou funkci, sinus, exponent a konstantu 1. Nezapomeňte na konec přidat libovolnou konstantu C:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

Po elementárních transformacích dostáváme konečnou odpověď:

X 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

Otestujte se diferenciací: vezměte derivaci výsledné funkce a ujistěte se, že se rovná původnímu integrantu.

Souhrnná tabulka integrálů

∫ A d x \u003d A x + C

∫ x d x \u003d x 2 2 + C

∫ x 2 d x \u003d x 3 3 + C

∫ 1 x d x \u003d 2 x + C

∫ 1 x d x \u003d ln | x | + C.

∫ 1 x 2 d x \u003d - 1 x + C

∫ x n d x \u003d x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1)

∫ e x d x \u003d e x + C

∫ a x d x \u003d a x ln a + C (a\u003e 0, a ≠ 1)

H s h x d x \u003d c h x + C

∫ c h x d x \u003d s h x + C

∫ sin x d x \u003d - cos x + C

∫ cos x d x \u003d sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x \u003d t g x + C

Sin 1 hřích 2 x d x \u003d - c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x \u003d a r c t g x + C \u003d - a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 \u003d 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 - x 2 d x \u003d arcsin x + C \u003d - arccos x + C

∫ 1 a 2 - x 2 d x \u003d arcsin x a + C \u003d - arccos x a + C (a\u003e 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x \u003d ln | x + x 2 + a 2 | + C.

∫ 1 x 2 - a 2 d x \u003d ln | x + x 2 - a 2 | + C.

∫ a 2 - x 2 d x \u003d x 2 a 2 - x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a\u003e 0)

∫ x 2 + a 2 d x \u003d x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a\u003e 0)

∫ x 2 - a 2 d x \u003d x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | x + x 2 - a 2 | + C (a\u003e 0)

Stáhněte si tabulku integrálů (část II) z tohoto odkazu

Pokud studujete na univerzitě, máte-li potíže s vyšší matematikou (matematická analýza, lineární algebra, teorie pravděpodobnosti, statistika), potřebujete-li služby kvalifikovaného učitele, přejděte na stránku vyššího učitele matematiky. Vaše problémy vyřešíme společně!

Mohlo by vás také zajímat

Složité integrály

Tento článek završuje téma neurčitých integrálů a zahrnuje integrály, které považuji za dost obtížné. Lekce byla vytvořena na základě opakovaných požadavků návštěvníků, kteří vyjádřili přání, aby byly na webu analyzovány i obtížnější příklady.

Předpokládá se, že čtenář tohoto textu je dobře připraven a umí používat základní integrační techniky. Dummies a lidé, kteří si nejsou jisti integrály, by se měli podívat na první lekci - Neurčitý integrál. Příklady řešení, kde můžete téma zvládnout prakticky od nuly. Zkušenější studenti se mohou seznámit s technikami a metodami integrace, které dosud nebyly v mých článcích splněny.

Jaké integrály budou brány v úvahu?

Nejprve zvážíme integrály s kořeny, pro které postupně používáme variabilní náhrada a integrace po částech... To znamená, že v jednom příkladu jsou kombinovány dvě techniky najednou. A ještě více.

Poté se seznámíme se zajímavým a originálním způsob redukce integrálu na sebe... Ne tak málo integrálů je vyřešeno tímto způsobem.

Třetí číslo programu bude věnováno integrálům komplexních zlomků, které letěly kolem pokladny v předchozích článcích.

Za čtvrté budou analyzovány další integrály trigonometrických funkcí. Zejména existují techniky, které zabraňují časově náročné univerzální trigonometrické substituci.

(2) V integrandu vydělíme čitatele výrazem jmenovatele výrazem.

(3) Používáme vlastnost linearity neurčitého integrálu. V posledním integrálu okamžitě přineseme funkci pod znaménko diferenciálu.

(4) Vezměte zbývající integrály. Všimněte si, že závorky lze použít v logaritmu, ne v modulu.

(5) Provádíme reverzní substituci, vyjadřující z přímé substituce „te“:

Masochističtí studenti mohou odlišit odpověď a získat původní integrand, jak jsem to právě udělal. Ne, ne, kontrolu jsem provedl ve správném smyslu \u003d)

Jak vidíte, během řešení bylo nutné použít ještě více než dvě metody řešení, takže k řešení těchto integrálů potřebujete jisté integrační dovednosti a ne nejmenší zkušenosti.

V praxi je samozřejmě druhá odmocnina běžnější, zde jsou tři příklady nezávislého řešení:

Příklad 2

Najděte neurčitý integrál

Příklad 3

Najděte neurčitý integrál

Příklad 4

Najděte neurčitý integrál

Tyto příklady jsou stejného typu, proto bude kompletní řešení na konci článku pouze pro příklad 2, v příkladech 3-4 - jedna odpověď. Jaká substituce použít na začátku řešení je podle mého názoru zřejmá. Proč jsem vyzvedl příklady stejného typu? Často se setkávají ve své roli. Možná častěji jen něco jako .

Ale ne vždy, když je kořen lineární funkce nalezen pod arkustangensem, sineem, kosinusem, exponentem a dalšími funkcemi, je třeba použít několik metod najednou. V řadě případů je možné „snadno vystoupit“, to znamená, že ihned po výměně se získá jednoduchý integrál, který se vezme elementárně. Nejjednodušší z výše navržených úkolů je Příklad 4, ve kterém se po nahrazení získá relativně jednoduchý integrál.

Zmenšením integrálu na sebe

Důmyslná a krásná metoda. Zvažte okamžitě klasiku žánru:

Příklad 5

Najděte neurčitý integrál

Pod kořenem je čtvercový dvojčlen, a při pokusu o integraci tohoto příkladu může konvice trpět celé hodiny. Takový integrál se bere kousek po kousku a redukuje se na sebe. V zásadě to není těžké. Jestli víš jak.

Označme uvažovaný integrál latinským písmenem a začněme řešení:

Integrujeme kousek po kousku:

(1) Připravte funkci integrand pro dělení termínů.

(2) Celé číslo vydělíme termínem. Možná ne každý rozumí, napíšu podrobněji:

(3) Používáme vlastnost linearity neurčitého integrálu.

(4) Vezměte poslední integrál („dlouhý“ logaritmus).

Nyní se podíváme na samý začátek řešení:

A na konci:

Co se stalo? V důsledku našich manipulací se integrál snížil sám na sebe!

Pojďme srovnat začátek a konec:

Přesunout doleva se změnou znaménka:

A neseme dvojku na pravou stranu. Jako výsledek:

Konstanta, přísně vzato, měla být přidána dříve, ale přidala ji na konec. Důrazně doporučuji, abyste si přečetli, co je přísné, zde:

Poznámka: Přesněji řečeno, konečná fáze řešení vypadá takto:

Takto:

Konstantu lze přejmenovat na. Proč můžete znovu určit? Protože to stále přijímá žádný hodnot, a v tomto smyslu není žádný rozdíl mezi konstantami a.
Jako výsledek:

Podobný trik neustálé redesignace je široce používán v diferenciální rovnice... A tam budu přísný. A tady mi taková svoboda připouští jen proto, aby vás neplést s zbytečnými věcmi a zaměřit se na samotnou metodu integrace.

Příklad 6

Najděte neurčitý integrál

Další typický integrál pro nezávislé řešení. Kompletní řešení a odpověď na konci tutoriálu. Rozdíl oproti odpovědi z předchozího příkladu bude!

Pokud je pod druhou odmocninou čtvercová trinomie, pak je řešení v každém případě redukováno na dva analyzované příklady.

Zvažte například integrál ... Vše, co musíte udělat, je předem vyberte celý čtverec:
.
Dále je provedena lineární náhrada, která upustí od „bez následků“:
, což má za následek integrál. Něco známého, že?

Nebo takový příklad se čtvercovým dvojčlenem:
Vyberte celý čtverec:
A po lineární náhradě dostaneme integrál, který je také vyřešen již uvažovaným algoritmem.

Zvažte další dva typické příklady toho, jak snížit integrál na sebe:
- integrál exponenta vynásobený sinusem;
Je integrál exponentu vynásobený kosinem.

V uvedených integrálech po částech bude nutné integrovat již dvakrát:

Příklad 7

Najděte neurčitý integrál

Celé číslo je exponent vynásobený sinusem.

Integrujeme dvakrát po částech a redukujeme integrál na sebe:

V důsledku dvojí integrace po částech se integrál snížil na sebe. Pojďme srovnat začátek a konec řešení:

Přesuňte se doleva se změnou znaménka a vyjádřete náš integrál:

Hotovo. Po cestě je vhodné česat pravou stranu, tj. umístit exponent mimo závorky a v závorkách uspořádat sinus a kosinus v "pěkném" pořadí.

Vraťme se nyní na začátek příkladu, respektive k integraci po částech:

Protože jsme označili vystavovatele. Vyvstává otázka, přesně tím exponentem by měl být vždy označen? Není nutné. Ve skutečnosti v uvažovaném integrálu zásadně žádný rozdílpro co byste mohli označit, můžete jít opačným směrem:

Proč je to možné? Protože se exponent mění v sebe (jak během diferenciace, tak během integrace), sinus a kosinus se navzájem transformují (opět během diferenciace a integrace).

To znamená, že můžete také určit trigonometrickou funkci pro. V uvažovaném příkladu je to však méně racionální, protože se objeví zlomky. Pokud si přejete, můžete zkusit vyřešit tento příklad druhým způsobem, odpovědi musí být stejné.

Příklad 8

Najděte neurčitý integrál

Toto je příklad řešení pro kutily. Než se rozhodnete, přemýšlejte o tom, co je v tomto případě výhodnější pro označení pro exponent nebo trigonometrickou funkci? Kompletní řešení a odpověď na konci tutoriálu.

A samozřejmě nezapomeňte, že většina odpovědí v této lekci je dostatečně odlišná!

Příklady nebyly považovány za nejtěžší. V praxi jsou běžnější integrály, kde konstanta je jak v exponentu, tak v argumentu trigonometrické funkce, například :. Mnoho lidí se bude muset v takovém integrálu ztratit a já sám jsem často zmatený. Faktem je, že v roztoku existuje vysoká pravděpodobnost zlomků a je velmi snadné něco nepozorností ztratit. Kromě toho existuje vysoká pravděpodobnost chyby ve znaméncích, všimněte si, že exponent má znaménko minus, což přináší další potíže.

V závěrečné fázi se často ukáže něco jako následující:

I na konci řešení byste měli být velmi opatrní a správně zacházet s frakcemi:

Integrace složených frakcí

Pomalu se přibližujeme k rovníku lekce a začínáme uvažovat o integrálech zlomků. Opět ne všechny jsou super komplikované, jen z toho či onoho důvodu byly příklady v jiných článcích trochu „mimo téma“.

Pokračování tématu kořenů

Příklad 9

Najděte neurčitý integrál

Ve jmenovateli pod kořenem je druhá mocnina plus mimo kořen „přídavky“ ve tvaru „x“. Integrál tohoto druhu je řešen pomocí standardní substituce.

Rozhodujeme se:

Výměna je jednoduchá:

Podíváme se na život po výměně:

(1) Po nahrazení přivedeme pojmy pod kořenem ke společnému jmenovateli.
(2) Vyjmeme zpod kořene.
(3) Zmenšete čitatele a jmenovatele o. Zároveň jsem pod kořenem upravil podmínky ve vhodném pořadí. S určitými zkušenostmi lze kroky (1), (2) přeskočit verbálním provedením komentovaných akcí.
(4) Výsledný integrál, jak si pamatujete z lekce Integrace některých zlomků, vyřešeno metoda výběru celého čtverce... Vyberte celý čtverec.
(5) Integrací získáme běžný „dlouhý“ logaritmus.
(6) Provádíme zpětnou výměnu. Pokud zpočátku, pak zpět :.
(7) Konečná akce je zaměřena na účes výsledku: pod kořenem opět přivedeme výrazy ke společnému jmenovateli a vyjmeme je z kořene.

Příklad 10

Najděte neurčitý integrál

Toto je příklad řešení pro kutily. Zde byla do osamělého „x“ přidána konstanta a nahrazení je téměř stejné:

Jediná věc, kterou je třeba udělat dodatečně, je vyjádřit „X“ z nahrazení:

Kompletní řešení a odpověď na konci tutoriálu.

Někdy v takovém integrálu může být pod kořenem čtvercový dvojčlen, toto řešení nemění, bude to ještě jednodušší. Cítit rozdíl:

Příklad 11

Najděte neurčitý integrál

Příklad 12

Najděte neurčitý integrál

Stručná řešení a odpovědi na konci lekce. Je třeba poznamenat, že příklad 11 je přesně binomický integrál, jehož metoda řešení byla v lekci zvážena Integrály iracionálních funkcí.

Integrace nerozložitelného polynomu stupně 2 stupně

(polynom ve jmenovateli)

Vzácnější, ale přesto integrální forma, se kterou se setkáváme v praktických příkladech.

Příklad 13

Najděte neurčitý integrál

Ale zpět k příkladu se šťastným číslem 13 (upřímně, nehádal jsem správně). Tento integrál je také z kategorie těch, se kterými se můžete docela trápit, pokud nevíte, jak to vyřešit.

Řešení začíná umělou transformací:

Myslím, že každý už rozumí tomu, jak rozdělit čitatele výrazem jmenovatele podle výrazů.

Výsledný integrál se bere kousek po kousku:

Pro integrál formuláře (je přirozené číslo), opakující se Vzorec pro snížení stupně:
kde - integrál o stupeň nižší.

Ověřme platnost tohoto vzorce pro řešený integrál.
V tomto případě: ,, použijeme vzorec:

Jak vidíte, odpovědi jsou stejné.

Příklad 14

Najděte neurčitý integrál

Toto je příklad řešení pro kutily. Ukázkové řešení používá výše uvedený vzorec dvakrát za sebou.

Pokud je pod titulem nerozložitelný čtvercový trinomial, pak se řešení sníží na binomický výběrem celého čtverce, například:

Co když je v čitateli další polynom? V tomto případě se použije metoda nedefinovaných koeficientů a integrand se rozšíří na součet zlomků. Ale v mé praxi takového příkladu nikdy se nesetkal, tak jsem tento případ v článku přeskočil Integrály zlomkové racionální funkce, Teď to přeskočím. Pokud k takovému integrálu stále dochází, podívejte se na výukový program - vše je tam jednoduché. Nepovažuji za vhodné zahrnout materiál (i jednoduchý), jehož pravděpodobnost setkání má sklon k nule.

Integrace komplexních trigonometrických funkcí

U většiny příkladů je adjektivum „obtížné“ opět do značné míry podmíněno. Začněme s tečnami a kotangenty ve vysokých stupních. Z pohledu metod použitých pro řešení tečny a kotangensu jsou téměř stejné, proto budu hovořit více o tečně, z čehož vyplývá, že předvedená metoda řešení integrálu platí i pro kotangens.

Ve výše uvedené lekci jsme se podívali na univerzální trigonometrická substituce pro řešení určitého druhu integrálů trigonometrických funkcí. Nevýhodou univerzální trigonometrické substituce je, že při jejím použití často vznikají těžkopádné integrály se složitými výpočty. A v některých případech se lze vyhnout univerzální trigonometrické substituci!

Zvažte další kanonický příklad, integrál jednoty dělený sineem:

Příklad 17

Najděte neurčitý integrál

Zde můžete použít obecnou trigonometrickou substituci a získat odpověď, ale existuje racionálnější způsob. Poskytnu kompletní řešení s komentáři ke každému kroku:

(1) Používáme sinusový trigonometrický vzorec s dvojitým úhlem.
(2) Provádíme umělou transformaci: Ve jmenovateli rozdělíme a vynásobíme.
(3) Podle dobře známého vzorce ve jmenovateli transformujeme zlomek na tečnu.
(4) Přinášíme funkci pod znaménko diferenciálu.
(5) Vezměte integrál.

Několik jednoduchých příkladů pro vlastní řešení:

Příklad 18

Najděte neurčitý integrál

Poznámka: Prvním krokem je použití castovacího vzorce a opatrně proveďte kroky podobné předchozímu příkladu.

Příklad 19

Najděte neurčitý integrál

Toto je velmi jednoduchý příklad.

Kompletní řešení a odpovědi na konci lekce.

Myslím, že teď nikdo nebude mít problémy s integrály:
atd.

Jaká je myšlenka této metody? Myšlenkou je uspořádat pouze tečny a deriváty tečny v integrandu pomocí transformací, trigonometrických vzorců. To znamená, že mluvíme o nahrazení: ... V příkladech 17-19 jsme skutečně použili tuto náhradu, ale integrály byly tak jednoduché, že záležitost byla ošetřena ekvivalentní akcí - čímž byla funkce pod znamením rozdílu.

Podobné uvažování, jak jsem již zmínil, lze provést pro kotangens.

Existuje také formální předpoklad pro použití výše uvedené náhrady:

Součet sil kosinu a sinu je záporné celé číslo NEJEN číslo, např .:

pro integrál - záporné celé číslo i číslo.

! Poznámka : pokud integrand obsahuje POUZE sinus nebo POUZE kosinus, pak se integrál bere také pro záporný lichý stupeň (nejjednodušší případy jsou v příkladech č. 17, 18).

Zvažte několik smysluplnějších úkolů pro toto pravidlo:

Příklad 20

Najděte neurčitý integrál

Součet mocnin sinu a kosinu: 2 - 6 \u003d –4 je záporné celé číslo NEJEN číslo, což znamená, že integrál lze redukovat na tečny a jeho derivaci:

(1) Transformujte jmenovatele.
(2) Známým vzorcem, který získáme.
(3) Transformujeme jmenovatele.
(4) Používáme vzorec .
(5) Přinášíme funkci pod znaménko rozdílu.
(6) Provádíme výměnu. Zkušenější studenti nemusí provést nahrazení, ale stále je lepší nahradit tečnu jedním písmenem - existuje menší riziko záměny.

Příklad 21

Najděte neurčitý integrál

Toto je příklad řešení pro kutily.

Vydržte, kola šampionů začínají \u003d)

Často v integrand je "hodgepodge":

Příklad 22

Najděte neurčitý integrál

Tento integrál zpočátku obsahuje tečnu, která okamžitě vyvolá již známou myšlenku:

Umělá transformace na samém začátku a zbývající kroky ponechám bez komentáře, protože vše již bylo řečeno výše.

Několik kreativních příkladů pro vlastní řešení:

Příklad 23

Najděte neurčitý integrál

Příklad 24

Najděte neurčitý integrál

Ano, v nich samozřejmě můžete snížit stupně sinu, kosinu, použít univerzální trigonometrickou substituci, ale řešení bude mnohem efektivnější a kratší, pokud ho nakreslíte tečnami. Kompletní řešení a odpovědi na konci lekce